Généralités sur les fonctions

Le cours

1. Rappel : Notion de fonction

Une fonction $f$ de $\\mathbb{R}$ dans $\\mathbb{R}$ associe à tout réel $x$ d'un ensemble de définition $D_f$ un unique réel $y = f(x)$.

Exemple 1 : $f(x) = x^2$ définie sur $\\mathbb{R}$ (modélisation de l'aire d'un carré de côté variable).

2. Fonction paire

$f$ est paire si : - $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (si $x \\in D_f$ alors $-x \\in D_f$) - Pour tout $x \\in D_f$, $f(-x) = f(x)$

Conséquence graphique : La courbe de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe $Oy$).

Exemple 2 : $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$ (profil de dépenses d'une association estudiantine à Bouaké).

3. Fonction impaire

$f$ est impaire si : - $D_f$ symétrique par rapport à 0 - Pour tout $x \\in D_f$, $f(-x) = -f(x)$

Conséquence graphique : La courbe de $f$ est symétrique par rapport à l'origine du repère $O$.

Exemple 3 : $f(x) = x^3$ (modélisation du volume d'un cube).

4. Reconnaissance graphique de la parité

• Symétrie par rapport à l'axe $Oy$ → fonction paire.
• Symétrie par rapport à l'origine $O$ → fonction impaire.

{
  "type": "function",
  "title": "Fonctions paires et impaires",
  "xRange": [-3, 3],
  "yRange": [-5, 10],
  "functions": [
    { "expression": "x^2", "color": "#8884d8", "name": "f(x)=x² (paire)" },
    { "expression": "x^3", "color": "#82ca9d", "name": "g(x)=x³ (impaire)" }
  ],
  "showGrid": true,
  "showAxes": true,
  "xLabel": "x",
  "yLabel": "y"
}

5. Axe de symétrie vertical (différent de l'axe Oy)

La droite d'équation $x = a$ est axe de symétrie de la courbe si pour tout $h$ tel que $a+h \\in D_f$ et $a-h \\in D_f$, on a : $$f(a+h) = f(a-h)$$

Exemple 4 : $f(x) = (x-2)^2$ a pour axe de symétrie la droite $x=2$.

6. Centre de symétrie autre que l'origine

Le point $A(a, b)$ est centre de symétrie si pour tout $h$ tel que $a+h \\in D_f$ et $a-h \\in D_f$, on a : $$f(a+h) + f(a-h) = 2b$$

Exemple 5 : $f(x) = (x-1)^3 + 3$ a pour centre de symétrie le point $(1, 3)$.

7. Méthode pour justifier la parité

1. Vérifier que $D_f$ est symétrique par rapport à 0.
2. Calculer $f(-x)$ et le comparer à $f(x)$ (pour paire) ou à $-f(x)$ (pour impaire).

Exemple 6 : $f(x) = \\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ sur $\\mathbb{R}$. $f(-x) = \\frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 + 1} = \\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = f(x)$ → $f$ est paire.

8. Application à la situation du mobile

Si la trajectoire du mobile est symétrique par rapport à l'axe vertical (mouvement aller-retour identique), elle peut être modélisée par une fonction paire sur un intervalle de temps centré. Si $x$ représente le temps (par rapport à un instant central) et $f(x)$ la position, alors $f(-t) = f(t)$ permet de déduire la position passée à partir de la position future.

Exemple concret : Mouvement d'une balançoire dans un parc d'Abidjan (petites oscillations).