Dérivabilité et étude de fonctions
Objectifs pédagogiques
- Connaître et interpréter graphiquement le nombre dérivé d'une fonction en un point
- Connaître les formules de dérivation des fonctions usuelles et des opérations
- Déterminer la fonction dérivée d'une fonction et son signe
- Étudier les variations d'une fonction à l'aide de sa dérivée
- Dresser le tableau de variations et construire la tangente en un point
- Appliquer l'étude de fonction à l'optimisation dans des situations concrètes
Situation d'apprentissage
La coopérative de la promotion <<première>> d’un établissement de Korhogo gère une broyeuse de manioc. Cette machine peut broyer jusqu’à 2,5 tonnes de manioc par jour. Une étude sur le fonctionnement et la recette journaliers de la broyeuse, faite par un professeur de mathématiques de l’établissement, révèle que le bénéfice journalier, en milliers de francs, est modélisé par la fonction b définie par $b(x)= -x^2 +40x-225$ où $x$ est la quantité en centaines de kilogrammes de manioc broyé par jour. Dans le but de faire des prévisions pour le bal de fin d’année, les élèves de première A2 souhaitent savoir le bénéfice journalier maximal et la quantité de manioc qu’il faut pour avoir ce bénéfice. Pour cela ils décident d’étudier des fonctions.
Le cours
1. Nombre dérivé et tangente
Le nombre dérivé de $f$ en $x_0$, noté $f'(x_0)$, est la limite (si elle existe) du taux d'accroissement : $$f'(x_0) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$$
Interprétation graphique : $f'(x_0)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$.
Exemple 1 : Vitesse instantanée d'un taxi à Abidjan à un instant donné.
2. Équation de la tangente
Si $f$ est dérivable en $x_0$, la tangente a pour équation : $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$
Exemple 2 : Tangente à $f(x)=x^2$ en $x_0=1$.
3. Fonction dérivée
La fonction dérivée $f'$ associe à tout $x$ où $f$ est dérivable le nombre $f'(x)$.
4. Dérivées des fonctions usuelles (programme 1ère A2)
| Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ | Condition |
|---|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ | |
| $x$ | $1$ | |
| $ax + b$ | $a$ | |
| $x^2$ | $2x$ | |
| $x^3$ | $3x^2$ | |
| $\\frac{1}{x}$ | $-\\frac{1}{x^2}$ | $x \\neq 0$ |
| $\\frac{a}{x}$ | $-\\frac{a}{x^2}$ | $x \\neq 0$ |
5. Opérations sur les dérivées
Soient $u$ et $v$ dérivables, $a$ constante. - $(u+v)' = u' + v'$ - $(au)' = a u'$ - $(uv)' = u'v + uv'$ - $\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$ (pour $v(x) \\neq 0$)
6. Lien entre dérivée et variations
Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$. - Si $f'(x) \\geq 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$. - Si $f'(x) \\leq 0$ sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$. - Si $f'(x) = 0$ en $x_0$ et $f'$ change de signe en $x_0$, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$.
Exemple 3 : Étude de $f(x)=x^3 - 3x$ sur $\\mathbb{R}$.
7. Tableau de variations
On résout $f'(x)=0$, on détermine le signe de $f'$ sur les intervalles, on en déduit les variations de $f$.
{
"type": "function",
"title": "Fonction et sa dérivée",
"xRange": [-2, 5],
"yRange": [-10, 15],
"functions": [
{ "expression": "x^2 - 4*x + 3", "color": "#8884d8", "name": "f(x)=x²-4x+3" },
{ "expression": "2*x - 4", "color": "#82ca9d", "name": "f'(x)=2x-4" }
],
"showGrid": true,
"showAxes": true,
"xLabel": "x",
"yLabel": "y"
}
8. Application à la situation de la broyeuse
$b(x) = -x^2 + 40x - 225$, avec $x$ en centaines de kg, $0 \\leq x \\leq 25$ (car 2,5 tonnes = 2500 kg).
- Dérivée : $b'(x) = -2x + 40$.
- Signe de $b'$ : $b'(x) = 0 \\Leftrightarrow x = 20$. Pour $x < 20$, $b'(x) > 0$ → $b$ croissante. Pour $x > 20$, $b'(x) < 0$ → $b$ décroissante.
- Tableau de variations : maximum en $x=20$.
- Bénéfice maximal : $b(20) = -(20)^2 + 40\\times20 - 225 = -400 + 800 - 225 = 175$ milliers de FCFA = 175 000 FCFA.
- Quantité optimale : 20 centaines de kg = 2000 kg = 2 tonnes.
La coopérative doit donc broyer 2 tonnes de manioc par jour pour maximiser son bénéfice à 175 000 FCFA.
Points clés à retenir
- Le nombre dérivé $f'(x_0)$ donne le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $x_0$
- Les formules de dérivation permettent de calculer $f'(x)$ pour les fonctions usuelles et leurs combinaisons
- Le signe de $f'(x)$ détermine les variations de $f$ : $f' \\geq 0$ → croissance ; $f' \\leq 0$ → décroissance
- Un extremum local se produit lorsque $f'(x)$ s'annule en changeant de signe
- L'étude de fonction permet de résoudre des problèmes d'optimisation (bénéfice maximal, coût minimal, surface maximale)
Quiz d'auto-évaluation
Si $f'(x_0) = 3$, alors la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$ a pour coefficient directeur :
- 3
- -3
- $\\frac{1}{3}$
- On ne peut pas savoir
Réponse
3
La dérivée de $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$ est :
- $3x^2 - 4x$
- $3x^2 - 2x$
- $x^2 - 4x$
- $3x^3 - 4x^2$
Réponse
$3x^2 - 4x$
Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle I, alors $f$ est :
- Croissante sur I
- Décroissante sur I
- Constante sur I
- Nulle sur I
Réponse
Croissante sur I
Pour trouver les extremums d'une fonction dérivable, on cherche d'abord :
- Les valeurs qui annulent la dérivée
- Les valeurs qui annulent la fonction
- Les limites aux bornes
- Les points d'inflexion
Réponse
Les valeurs qui annulent la dérivée
Vidéos pour approfondir
Ouvrir dans l'application (suivi de progression, quiz interactifs)