Dénombrement
Objectifs pédagogiques
- Connaître et calculer le cardinal d'un produit cartésien d'ensembles finis
- Définir et dénombrer les p-listes (p-uplets) d'un ensemble fini
- Définir et calculer les arrangements, permutations et combinaisons
- Choisir l'outil de dénombrement approprié selon la situation
- Résoudre des problèmes de dénombrement issus de situations réelles
Situation d'apprentissage
À l'occasion de la fête d'anniversaire de leur fille, un couple sollicite un restaurateur d'Abidjan qui leur propose quatre entrées, trois plats de résistance et cinq desserts. Un menu est composé d'une entrée, d'un plat de résistance et d'un dessert. Pour prévoir les dépenses liées à la restauration, le couple demande au restaurateur de lui communiquer le nombre de menus possibles. Le fils du restaurateur qui travaille avec son père se propose de déterminer ce nombre. Pour cela, il sollicite ses camarades de classe et ensemble, ils décident de mener des recherches sur le dénombrement d'ensembles finis.
Le cours
1. Produit cartésien de deux ensembles finis
Si $A$ a $n$ éléments et $B$ a $p$ éléments, alors : $$|A \\times B| = n \\times p$$
Exemple : Choix d'une tenue : 3 chemises × 4 pantalons = 12 tenues possibles.
2. p-listes (p-uplets)
Une p-liste (ou p-uplet) est une suite ordonnée de p éléments choisis parmi n, avec répétition possible.
Nombre de p-listes : $n^p$
Exemple : Codes PIN de 4 chiffres : $10^4 = 10\,000$ possibilités (chiffres 0-9).
3. Arrangements
Un arrangement de p éléments parmi n (p ≤ n) est une p-liste d'éléments distincts (sans répétition).
Nombre d'arrangements : $$A_n^p = n \\times (n-1) \\times ... \\times (n-p+1) = \\frac{n!}{(n-p)!}$$
Exemple : Classement des 3 premiers d'une course de 8 participants : $A_8^3 = 8 \\times 7 \\times 6 = 336$.
4. Permutations
Cas particulier d'arrangement où p = n : on arrange tous les éléments.
Nombre de permutations : $$P_n = n! = n \\times (n-1) \\times ... \\times 2 \\times 1$$
Exemple : Ordre de passage de 5 élèves à l'oral : $5! = 120$ ordres possibles.
5. Combinaisons
Une combinaison de p éléments parmi n (p ≤ n) est un sous-ensemble non ordonné de p éléments.
Nombre de combinaisons : $$C_n^p = \\frac{A_n^p}{p!} = \\frac{n!}{p!(n-p)!}$$
Propriétés : - $C_n^p = C_n^{n-p}$ - $C_n^0 = C_n^n = 1$
Exemple : Formation d'une équipe de 5 joueurs parmi 11 : $C_{11}^5 = 462$ équipes possibles.
6. Arbre de décision pour choisir l'outil
graph TD
A[Problème de dénombrement] --> B[Les p éléments sont-ils distincts 2 à 2?]
B -->|Non| C[P-liste<br/>n^p]
B -->|Oui| D[L'ordre a-t-il de l'importance?]
D -->|Non| E[Combinaison C_n^p]
D -->|Oui| F[Tous les éléments sont-ils pris?]
F -->|Non| G[Arrangement A_n^p]
F -->|Oui| H[Permutation n!]
7. Application à la situation du restaurant
- Entrées : 4 choix
- Plats : 3 choix
- Desserts : 5 choix
Principe multiplicatif : $4 \\times 3 \\times 5 = 60$ menus possibles.
C'est un produit cartésien : $E \\times P \\times D$ avec |E|=4, |P|=3, |D|=5.
8. Exemples supplémentaires contextualisés
8.1 Formation d'un gouvernement (Korhogo)
Le président régional doit choisir 3 ministres parmi 10 candidats. L'ordre n'a pas d'importance → Combinaison : $C_{10}^3 = 120$ gouvernements possibles.
8.2 Attribution de logements sociaux (Yamoussoukro)
5 familles candidates pour 3 logements identiques → Combinaison : $C_5^3 = 10$ attributions possibles.
8.3 Organisation d'un tournoi de football (San-Pédro)
8 équipes, on veut connaître le nombre de matchs (chaque équipe rencontre chaque autre une fois) → Combinaison : $C_8^2 = 28$ matchs.
9. Formules à retenir
| Situation | Modèle | Formule |
|---|---|---|
| Choix successifs avec remise | p-liste | $n^p$ |
| Choix successifs sans remise, ordre important | Arrangement | $A_n^p = \\frac{n!}{(n-p)!}$ |
| Choix simultanés, ordre non important | Combinaison | $C_n^p = \\frac{n!}{p!(n-p)!}$ |
| Ordre de tous les éléments | Permutation | $n!$ |
| Produit cartésien | Principe multiplicatif | $n_1 \\times n_2 \\times ... \\times n_k$ |
10. Coefficients binomiaux et triangle de Pascal
$C_n^p$ s'appelle aussi coefficient binomial. Propriété de récurrence : $$C_n^p = C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p$$
Ce qui donne le triangle de Pascal :
n=0: 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1
Points clés à retenir
- Principe multiplicatif : si un choix peut se faire de m façons et un autre de n façons, l'ensemble peut se faire de m×n façons
- Une p-liste (avec répétition possible) : $n^p$ possibilités
- Un arrangement (sans répétition, ordre important) : $A_n^p = n(n-1)...(n-p+1)$
- Une combinaison (sans répétition, ordre non important) : $C_n^p = \\frac{n!}{p!(n-p)!}$
- Une permutation (arrangement avec p=n) : $n! = 1×2×...×n$
- Le diagramme de décision aide à choisir le bon outil de dénombrement
Quiz d'auto-évaluation
Le nombre de façons de choisir 3 élèves parmi 10 pour former une équipe (l'ordre n'a pas d'importance) est :
- $C_{10}^3$
- $A_{10}^3$
- $10^3$
- $3^{10}$
Réponse
$C_{10}^3$
Combien de nombres de 3 chiffres peut-on former avec les chiffres 1, 2, 3, 4 sans répétition ?
- 24
- 64
- 12
- 6
Réponse
24
Un restaurant propose 4 entrées, 5 plats et 3 desserts. Combien de menus (entrée+plat+dessert) différents peut-on composer ?
- 60
- 12
- 20
- 120
Réponse
60
Quelle formule donne le nombre d'arrangements de p éléments parmi n (p ≤ n) ?
- $\\frac{n!}{(n-p)!}$
- $\\frac{n!}{p!}$
- $n^p$
- $\\frac{n!}{p!(n-p)!}$
Réponse
$\\frac{n!}{(n-p)!}$
Vidéos pour approfondir
Ouvrir dans l'application (suivi de progression, quiz interactifs)