Systèmes linéaires dans IR × IR

Le cours

1. Inéquation linéaire dans IR × IR\n\nUne inéquation linéaire en $x$ et $y$ est de la forme :\n$$ax + by + c \\leq 0 \\quad \\text{ou} \\quad ax + by + c \\geq 0$$\navec $(a, b) \\neq (0, 0)$.\n\nExemple : $2x + 3y - 12 \\leq 0$ pour un problème d'allocation de ressources à Man.\n\n## 2. Représentation graphique\n\nPour représenter $ax + by + c \\geq 0$ :\n1. Tracer la droite $D : ax + by + c = 0$\n2. Choisir un point test $M_0(x_0, y_0)$ n'appartenant pas à $D$\n3. Calculer $ax_0 + by_0 + c$\n4. Si le résultat est $\\geq 0$, le demi-plan contenant $M_0$ est solution\n\n## 3. Système d'inéquations\n\nUn système d'inéquations linéaires est un ensemble d'inéquations à résoudre simultanément.\nL'ensemble des solutions est l'intersection des demi-plans solutions.\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"function\",\n \"title\": \"Système : x+y≤5 et 2x+3y≤12\",\n \"xRange\": [0, 7],\n \"yRange\": [0, 7],\n \"functions\": [\n { \"expression\": \"5-x\", \"color\": \"#FF6B6B\", \"name\": \"x+y=5\" },\n { \"expression\": \"(12-2*x)/3\", \"color\": \"#4ECDC4\", \"name\": \"2x+3y=12\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"x\",\n \"yLabel\": \"y\",\n \"shadeRegions\": [\n { \"inequality\": \"x+y<=5\", \"color\": \"rgba(255,107,107,0.2)\" },\n { \"inequality\": \"2*x+3*y<=12\", \"color\": \"rgba(78,205,196,0.2)\" }\n ]\n}\n\n\nExemple :\n$$\\begin{cases} x + y \\leq 10 \\\\ 2x + 3y \\leq 24 \\\\ x \\geq 0 \\\\ y \\geq 0 \\end{cases}$$\npour un problème de production à Bouaké.\n\n## 4. Résolution graphique\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Tracer chaque droite] --> B[Choisir un point test]\n B --> C[Déterminer le demi-plan solution]\n C --> D[Hachurer le demi-plan NON solution]\n D --> E[Répéter pour chaque inéquation]\n E --> F[Zone non hachurée = solutions]\n\n\n## 5. Programmation linéaire (simplifiée)\n\nProblème type : Maximiser ou minimiser $z = ax + by$ sous contraintes linéaires.\nMéthode :\n1. Déterminer la zone des solutions admissibles (polygone convexe)\n2. Les extremums de $z$ sont atteints aux sommets du polygone\n3. Calculer $z$ à chaque sommet\n\n## 6. Application au problème des livres\n\nSoit $x$ le nombre de livres de maths, $y$ le nombre de livres de français.\nSystème :\n$$\\begin{cases} x + y = 27 \\\\ 5200x + 6500y = 156000 \\end{cases}$$\nRésolution par substitution : $y = 27 - x$, donc $5200x + 6500(27 - x) = 156000$\n$5200x + 175500 - 6500x = 156000$\n$-1300x = -19500$\n$x = 15$ et $y = 12$\n\n## 7. Tableau de résolution\n\n| Méthode | Avantages | Inconvénients |\n|---------|-----------|---------------|\n| Graphique | Visuel, intuitive | Imprécise pour les valeurs non entières |\n| Substitution | Simple pour 2 équations | Peut être lourde |\n| Combinaison linéaire | Systématique | Calculs parfois complexes |\n\n## 8. Problème d'optimisation agricole\n\nUn agriculteur de Korhogo a 10 ha pour cultiver du maïs (rendement 50 sacs/ha, besoin 2 unités d'engrais/ha) et du riz (rendement 40 sacs/ha, besoin 3 unités d'engrais/ha). Il dispose de 24 unités d'engrais. Maximiser la production totale.\nSystème : $\\begin{cases} x + y \\leq 10 \\\\ 2x + 3y \\leq 24 \\\\ x \\geq 0, y \\geq 0 \\end{cases}$\nFonction à maximiser : $P = 50x + 40y$.\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"points\",\n \"title\": \"Sommets du polygone des solutions\",\n \"xRange\": [0, 12],\n \"yRange\": [0, 12],\n \"points\": [\n { \"x\": 0, \"y\": 0, \"color\": \"#FF0000\", \"name\": \"A(0,0)\" },\n { \"x\": 10, \"y\": 0, \"color\": \"#00FF00\", \"name\": \"B(10,0)\" },\n { \"x\": 6, \"y\": 4, \"color\": \"#0000FF\", \"name\": \"C(6,4)\" },\n { \"x\": 0, \"y\": 8, \"color\": \"#FF00FF\", \"name\": \"D(0,8)\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"Surface maïs (ha)\",\n \"yLabel\": \"Surface riz (ha)\"\n}\n