Suites numériques

Le cours

1. Définition d'une suite numérique\n\nUne suite numérique est une fonction définie sur $\\mathbb{N}$ (ou une partie de $\\mathbb{N}$) à valeurs dans $\\mathbb{R}$.\nOn note $(u_n)_{n \\in \\mathbb{N}}$ ou simplement $(u_n)$.\n\nExemple : Population de Yamoussoukro année après année.\n\n## 2. Modes de définition\n\na) Par formule explicite : $u_n = f(n)$\nExemple : $u_n = 2n + 1$ (suite des nombres impairs)\n\nb) Par récurrence : $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $u_0$ donné\nExemple : $u_{n+1} = 2u_n + 1$, $u_0 = 1$\n\nc) Par description : Liste des termes\nExemple : $u_0 = 2, u_1 = 4, u_2 = 8, u_3 = 16, ...$\n\n## 3. Représentation graphique\n\nDans un repère, on place les points de coordonnées $(n, u_n)$.\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"sequence\",\n \"title\": \"Suite définie par formule explicite : Un = 2n+1\",\n \"nRange\": [0, 10],\n \"yRange\": [0, 25],\n \"sequences\": [\n { \"expression\": \"2*n+1\", \"color\": \"#8884d8\", \"name\": \"Un=2n+1\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"n\",\n \"yLabel\": \"Un\"\n}\n\n\nDeux types de représentation :\n1. En nuage de points (discrète)\n2. En « escalier » pour les suites récurrentes\n\n## 4. Suite arithmétique (sans la nommer explicitement)\n\nCaractéristique : On passe d'un terme au suivant en ajoutant une constante $r$ (raison)\n$$u_{n+1} = u_n + r$$\n\nFormule explicite : $u_n = u_0 + n \\times r$\n\nExemple : Placement à intérêts simples dans une banque de Daloa.\n\n## 5. Suite géométrique (sans la nommer explicitement)\n\nCaractéristique : On passe d'un terme au suivant en multipliant par une constante $q$ (raison)\n$$u_{n+1} = q \\times u_n$$\n\nFormule explicite : $u_n = u_0 \\times q^n$\n\nExemple : Placement à intérêts composés, croissance bactérienne.\n\n## 6. Application au placement bancaire\n\nDonnées : Capital initial $C_0 = 500\,000$ FCFA, taux $t = 3\\% = 0.03$, durée $n = 8$ ans (de 10 à 18 ans).\n\nModèle : Intérêts composés → suite géométrique de raison $q = 1 + t = 1.03$\n$C_{n+1} = 1.03 \\times C_n$\nFormule explicite : $C_n = 500\,000 \\times (1.03)^n$\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"sequence\",\n \"title\": \"Placement bancaire : Cn = 500000 × 1.03ⁿ\",\n \"nRange\": [0, 8],\n \"yRange\": [400000, 650000],\n \"sequences\": [\n { \"expression\": \"500000*1.03^n\", \"color\": \"#0088FE\", \"name\": \"Capital\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"Année n\",\n \"yLabel\": \"Capital (FCFA)\"\n}\n\n\nPour $n=8$ : $C_8 = 500\,000 \\times (1.03)^8$\nCalcul : $1.03^2 = 1.0609$, $1.03^4 = 1.1255$, $1.03^8 = 1.1255^2 \\approx 1.2668$\n$C_8 \\approx 500\,000 \\times 1.2668 = 633\,400$ FCFA\n\n## 7. Tableau comparatif\n\n| Type | Relation | Exemple | Représentation |\n|------|----------|---------|----------------|\n| Explicite | $u_n = f(n)$ | $u_n = n^2$ | Points isolés |\n| Récurrente | $u_{n+1} = f(u_n)$ | $u_{n+1} = 0.5u_n+1$ | « Escalier » |\n| Arithmétique | $u_{n+1} = u_n + r$ | Augmentation forfaitaire | Points alignés |\n| Géométrique | $u_{n+1} = q \\times u_n$ | Intérêts composés | Points exponentiels |\n\n## 8. Problème de loyers à Abengourou\n\nUne coopérative loue un magasin à Abengourou. Loyer initial : 600 000 FCFA.\nDeux contrats :\n1. Augmentation forfaitaire de 2 000 FCFA/an → suite arithmétique de raison 2000\n2. Augmentation de 2%/an → suite géométrique de raison 1.02\n\nContrat 1 : $u_n = 600\,000 + 2000n$\nContrat 2 : $v_n = 600\,000 \\times (1.02)^n$\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"sequence\",\n \"title\": \"Comparaison des contrats de loyer sur 10 ans\",\n \"nRange\": [0, 10],\n \"yRange\": [500000, 750000],\n \"sequences\": [\n { \"expression\": \"600000+2000*n\", \"color\": \"#FF6B6B\", \"name\": \"Contrat 1 (arithmétique)\" },\n { \"expression\": \"600000*1.02^n\", \"color\": \"#4ECDC4\", \"name\": \"Contrat 2 (géométrique)\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"Année n\",\n \"yLabel\": \"Loyer (FCFA)\"\n}\n\n\nComparaison sur 10 ans :\n- Contrat 1 : $u_{10} = 600\,000 + 20\,000 = 620\,000$ FCFA\n- Contrat 2 : $v_{10} = 600\,000 \\times 1.02^{10} \\approx 600\,000 \\times 1.219 = 731\,400$ FCFA\nLe contrat 1 est plus avantageux pour la coopérative.