Équations et inéquations dans IR

Le cours

1. Polynôme du second degré\n\nUn polynôme du second degré est une expression de la forme :\n$$P(x) = ax^2 + bx + c$$\noù $a \\neq 0$, $b$ et $c$ sont des réels.\n\nExemple contextualisé : Si le jardin a pour largeur $x$ et longueur $y$, avec $y$ le long du mur non grillagé, on a : $2x + y = 20$ et $xy = 48$. En exprimant $y = 20 - 2x$, on obtient l'équation : $x(20 - 2x) = 48$, soit $-2x^2 + 20x - 48 = 0$.\n\n## 2. Discriminant et racines\n\nLe discriminant d'un polynôme $ax^2 + bx + c$ est :\n$$\\Delta = b^2 - 4ac$$\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"function\",\n \"title\": \"Polynômes du second degré - Signe selon Δ\",\n \"xRange\": [-3, 5],\n \"yRange\": [-5, 10],\n \"functions\": [\n { \"expression\": \"x^2 - 4*x + 3\", \"color\": \"#8884d8\", \"name\": \"Δ > 0 : P(x)=x²-4x+3\" },\n { \"expression\": \"x^2 - 4*x + 4\", \"color\": \"#82ca9d\", \"name\": \"Δ = 0 : P(x)=x²-4x+4\" },\n { \"expression\": \"x^2 - 4*x + 5\", \"color\": \"#ff8042\", \"name\": \"Δ < 0 : P(x)=x²-4x+5\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"x\",\n \"yLabel\": \"P(x)\"\n}\n\n\n- Si $\\Delta > 0$ : deux racines réelles distinctes :\n$$x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} \\quad \\text{et} \\quad x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a}$$\n- Si $\\Delta = 0$ : une racine double : $x_0 = \\frac{-b}{2a}$\n- Si $\\Delta < 0$ : pas de racine réelle\n\n## 3. Factorisation\n\n- Si $\\Delta > 0$ : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$\n- Si $\\Delta = 0$ : $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$\n- Si $\\Delta < 0$ : pas de factorisation dans $\\mathbb{R}$\n\n## 4. Signe d'un polynôme du second degré\n\n| Cas | $\\Delta > 0$ | $\\Delta = 0$ | $\\Delta < 0$ |\n|-----|--------------|--------------|--------------|\n| $a > 0$ | $P(x) \\geq 0$ hors racines, négatif entre | Toujours $\\geq 0$ | Toujours $> 0$ |\n| $a < 0$ | $P(x) \\leq 0$ hors racines, positif entre | Toujours $\\leq 0$ | Toujours $< 0$ |\n\n## 5. Résolution d'équations rationnelles\n\nPour résoudre $\\frac{ax+b}{cx+d} = 0$ :\n1. Condition d'existence : $cx + d \\neq 0$ soit $x \\neq -\\frac{d}{c}$\n2. L'équation équivaut à $ax + b = 0$\n3. Solution : $x = -\\frac{b}{a}$ si cette valeur respecte la condition\n\nExemple : Résoudre $\\frac{3x-6}{x+2} = 0$ pour un problème de répartition de cultures à Bouaké.\n\n## 6. Résolution d'inéquations\n\nPour $\\frac{ax+b}{cx+d} \\geq 0$ :\n1. Tableau de signes du numérateur et dénominateur\n2. Étudier le signe du quotient\n3. Prendre les intervalles où le quotient est positif ou nul (attention aux valeurs interdites)\n\n## 7. Équations bicarrées\n\nUne équation du type $ax^4 + bx^2 + c = 0$ se résout par le changement de variable $X = x^2$ :\n$$aX^2 + bX + c = 0$$\nOn résout en $X$, puis $x = \\pm\\sqrt{X}$ pour $X \\geq 0$.\n\n## 8. Application au jardin de tomates\n\nReprenons l'équation : $-2x^2 + 20x - 48 = 0$\n- $\\Delta = 20^2 - 4(-2)(-48) = 400 - 384 = 16$\n- $x_1 = \\frac{-20 - 4}{-4} = 6$, $x_2 = \\frac{-20 + 4}{-4} = 4$\n- Les dimensions possibles : largeur 4 m, longueur 12 m OU largeur 6 m, longueur 8 m.\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"function\",\n \"title\": \"Surface du jardin : S(x) = x(20-2x)\",\n \"xRange\": [0, 10],\n \"yRange\": [0, 60],\n \"functions\": [\n { \"expression\": \"x*(20-2*x)\", \"color\": \"#0088FE\", \"name\": \"Surface S(x)\" }\n ],\n \"points\": [\n { \"x\": 4, \"y\": 48, \"color\": \"#FF0000\", \"name\": \"Solution 1\" },\n { \"x\": 6, \"y\": 48, \"color\": \"#00FF00\", \"name\": \"Solution 2\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"Largeur x (m)\",\n \"yLabel\": \"Surface (m²)\"\n}\n