Statistique

Le cours

1. Séries statistiques regroupées en classes\n\nUne série statistique regroupée en classes présente les données par intervalles (classes) plutôt que par valeurs individuelles.\n\nExemple des départements :\n\nDépartement 1 :\n| Notes | [10; 12[ | [12; 14[ | [14; 16[ | [16; 20[ |\n|-------|----------|----------|----------|----------|\n| Effectifs | 48 | 175 | 157 | 100 |\n\nDépartement 2 :\n| Notes | [10; 12[ | [12; 14[ | [14; 16[ | [16; 20[ |\n|-------|----------|----------|----------|----------|\n| Effectifs | 50 | 75 | 250 | 55 |\n\n## 2. Caractéristiques de position\n\na) Moyenne :\nPour une série regroupée en classes, on utilise le centre de classe $c_i$ :\n$$\\bar{x} = \\frac{\\sum n_i \\times c_i}{N}$$\noù $n_i$ = effectif de la classe, $c_i$ = centre de classe, $N$ = effectif total.\n\nCentre de classe : $c_i = \\frac{\\text{borne inférieure} + \\text{borne supérieure}}{2}$\n\nb) Médiane : Valeur qui partage la série en deux groupes d'effectifs égaux.\n- Pour $N$ impair : position $\\frac{N+1}{2}$\n- Pour $N$ pair : moyenne des valeurs aux positions $\\frac{N}{2}$ et $\\frac{N}{2}+1$\n\nFormule pour les classes :\n$$M_e = L_i + \\frac{\\frac{N}{2} - F_{i-1}}{n_i} \\times a_i$$\noù :\n- $L_i$ = borne inférieure de la classe médiane\n- $F_{i-1}$ = effectif cumulé avant la classe médiane\n- $n_i$ = effectif de la classe médiane\n- $a_i$ = amplitude de la classe médiane\n\nc) Quartiles :\n- $Q_1$ : 25% des valeurs lui sont inférieures\n- $Q_3$ : 75% des valeurs lui sont inférieures\n\n## 3. Caractéristiques de dispersion\n\na) Variance :\n$$V = \\frac{\\sum n_i (c_i - \\bar{x})^2}{N} = \\frac{\\sum n_i c_i^2}{N} - \\bar{x}^2$$\n\nb) Écart-type : $\\sigma = \\sqrt{V}$\n\nc) Écart interquartile : $Q_3 - Q_1$\n\nd) Écart moyen : $E_m = \\frac{\\sum n_i |c_i - \\bar{x}|}{N}$\n\n## 4. Représentations graphiques\n\na) Histogramme :\n- Les aires des rectangles sont proportionnelles aux effectifs\n- Pour classes d'amplitudes égales : hauteurs proportionnelles aux effectifs\n\nb) Polygone des effectifs :\nOn relie les points de coordonnées $(c_i, n_i)$\n\nc) Courbes cumulatives :\n- Croissante : $(\\text{borne sup}, F_i)$\n- Décroissante : $(\\text{borne inf}, N - F_{i-1})$\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"function\",\n \"title\": \"Histogramme - Département 1\",\n \"xRange\": [9, 21],\n \"yRange\": [0, 200],\n \"histogram\": {\n \"classes\": [\n { \"min\": 10, \"max\": 12, \"value\": 48, \"color\": \"#8884d8\" },\n { \"min\": 12, \"max\": 14, \"value\": 175, \"color\": \"#82ca9d\" },\n { \"min\": 14, \"max\": 16, \"value\": 157, \"color\": \"#ffc658\" },\n { \"min\": 16, \"max\": 20, \"value\": 100, \"color\": \"#ff8042\" }\n ]\n },\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"Notes\",\n \"yLabel\": \"Effectifs\"\n}\n\n\n## 5. Calcul pour le Département 1\n\nEffectif total : $N = 48 + 175 + 157 + 100 = 480$\n\nCentres de classes :\n- [10;12[ : $c_1 = 11$\n- [12;14[ : $c_2 = 13$\n- [14;16[ : $c_3 = 15$\n- [16;20[ : $c_4 = 18$\n\nMoyenne :\n$\\bar{x} = \\frac{48\\times11 + 175\\times13 + 157\\times15 + 100\\times18}{480}$\n$= \\frac{528 + 2275 + 2355 + 1800}{480} = \\frac{6958}{480} \\approx 14,50$\n\nMédiane : $\\frac{N}{2} = 240$\nClasse médiane : [14;16[ (effectif cumulé : 48+175=223 avant, +157 = 380 après)\n$M_e = 14 + \\frac{240 - 223}{157} \\times 2 = 14 + \\frac{17}{157} \\times 2 \\approx 14,22$\n\n## 6. Calcul pour le Département 2\n\nEffectif total : $N = 50 + 75 + 250 + 55 = 430$\n\nMoyenne :\n$\\bar{x} = \\frac{50\\times11 + 75\\times13 + 250\\times15 + 55\\times18}{430}$\n$= \\frac{550 + 975 + 3750 + 990}{430} = \\frac{6265}{430} \\approx 14,57$\n\nMédiane : $\\frac{N}{2} = 215$\nClasse médiane : [14;16[ (effectif cumulé : 50+75=125 avant, +250 = 375 après)\n$M_e = 14 + \\frac{215 - 125}{250} \\times 2 = 14 + \\frac{90}{250} \\times 2 = 14 + 0,72 = 14,72$\n\n## 7. Comparaison et décision\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"points\",\n \"title\": \"Comparaison des médianes des deux départements\",\n \"xRange\": [0, 3],\n \"yRange\": [14, 15],\n \"points\": [\n { \"x\": 1, \"y\": 14.22, \"color\": \"#0088FE\", \"name\": \"Dépt 1: 14,22\" },\n { \"x\": 2, \"y\": 14.72, \"color\": \"#00C49F\", \"name\": \"Dépt 2: 14,72\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"Département\",\n \"yLabel\": \"Médiane\"\n}\n\n\nConclusion : Le Département 2 a une médiane plus élevée (14,72 > 14,22). C'est donc lui qui recevra les équipements sportifs.\n\n## 8. Application : Production agricole à Bouaké\n\nUn agriculteur mesure le rendement de son maïs (en tonnes/ha) :\n| Rendement | [2;3[ | [3;4[ | [4;5[ | [5;6[ |\n|-----------|-------|-------|-------|-------|\n| Parcelles | 5 | 12 | 8 | 3 |\n\nCalculer la moyenne, la médiane et l'écart-type pour analyser la régularité de la production.