Généralités sur les fonctions

Le cours

1. Rappel : Définition d'une fonction\n\nUne fonction $f$ de $D_f$ dans $\\mathbb{R}$ associe à chaque $x \\in D_f$ un unique réel $f(x)$.\nLa courbe représentative $C_f$ est l'ensemble des points $M(x, f(x))$.\n\nExemple : Trajectoire d'un taxi dans les rues de Yamoussoukro modélisée par une fonction.\n\n## 2. Fonction paire\n\nDéfinition : $f$ est paire si :\n1. $D_f$ est symétrique par rapport à 0 ($x \\in D_f \\Rightarrow -x \\in D_f$)\n2. $\\forall x \\in D_f, f(-x) = f(x)$\n\nExemple : $f(x) = x^2$, $f(x) = x^4$, $f(x) = |x|$, $f(x) = \\frac{1}{x^2}$ (sur $\\mathbb{R}^*$)\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"function\",\n \"title\": \"Fonctions paires - Symétrie par rapport à l'axe Oy\",\n \"xRange\": [-4, 4],\n \"yRange\": [-1, 10],\n \"functions\": [\n { \"expression\": \"x^2\", \"color\": \"#8884d8\", \"name\": \"f(x)=x²\" },\n { \"expression\": \"x^4 - 4*x^2\", \"color\": \"#82ca9d\", \"name\": \"g(x)=x⁴-4x²\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"x\",\n \"yLabel\": \"f(x)\"\n}\n\n\n## 3. Fonction impaire\n\nDéfinition : $f$ est impaire si :\n1. $D_f$ symétrique par rapport à 0\n2. $\\forall x \\in D_f, f(-x) = -f(x)$\n\nExemple : $f(x) = x$, $f(x) = x^3$, $f(x) = \\frac{1}{x}$, $f(x) = \\sin x$\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"function\",\n \"title\": \"Fonctions impaires - Symétrie par rapport à l'origine\",\n \"xRange\": [-4, 4],\n \"yRange\": [-10, 10],\n \"functions\": [\n { \"expression\": \"x^3\", \"color\": \"#FF6B6B\", \"name\": \"f(x)=x³\" },\n { \"expression\": \"x\", \"color\": \"#4ECDC4\", \"name\": \"g(x)=x\" },\n { \"expression\": \"1/x\", \"color\": \"#FFD166\", \"name\": \"h(x)=1/x\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"x\",\n \"yLabel\": \"f(x)\"\n}\n\n\n## 4. Propriétés graphiques\n\n- Si $f$ est paire : $C_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe $Oy$)\n- Si $f$ est impaire : $C_f$ est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère\n\n## 5. Axe de symétrie vertical\n\nLa droite d'équation $x = a$ est axe de symétrie de $C_f$ si :\n$$\\forall h \\text{ tel que } a+h \\in D_f, a-h \\in D_f \\text{ et } f(a+h) = f(a-h)$$\n\nApplication : Une arche de pont à San-Pédro peut avoir un axe de symétrie.\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"function\",\n \"title\": \"Axe de symétrie x=2 : f(x) = (x-2)² + 1\",\n \"xRange\": [-1, 5],\n \"yRange\": [0, 10],\n \"functions\": [\n { \"expression\": \"(x-2)^2+1\", \"color\": \"#06D6A0\", \"name\": \"f(x)=(x-2)²+1\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"x\",\n \"yLabel\": \"f(x)\",\n \"verticalLine\": { \"x\": 2, \"color\": \"#FF0000\", \"label\": \"x=2\" }\n}\n\n\n## 6. Centre de symétrie\n\nLe point $\\Omega(a, b)$ est centre de symétrie de $C_f$ si :\n$$\\forall h \\text{ tel que } a+h \\in D_f, a-h \\in D_f \\text{ et } f(a+h) + f(a-h) = 2b$$\n\nCas particulier : Si $f$ impaire, alors $O(0,0)$ est centre de symétrie.\n\n## 7. Méthodes de démonstration\n\nTableau des méthodes :\n\n| Symétrie | Condition à vérifier | Exemple |\n|----------|---------------------|---------|\n| Parité | $f(-x) = f(x)$ | $x^4 - 3x^2 + 1$ |\n| Imparité | $f(-x) = -f(x)$ | $x^3 - 2x$ |\n| Axe $x=a$ | $f(a+h) = f(a-h)$ | $f(x) = (x-2)^2$ |\n| Centre $\\Omega(a,b)$ | $f(a+h)+f(a-h)=2b$ | $f(x) = \\frac{1}{x-1}+3$ |\n\n## 8. Applications en physique ivoirienne\n\n- Trajectoire d'un ballon de football au stade de Bouaké\n- Courbe de charge électrique d'un transformateur à Daloa\n- Profil d'une colline dans la région de Man\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"function\",\n \"title\": \"Fonction avec centre de symétrie Ω(1,3)\",\n \"xRange\": [-2, 4],\n \"yRange\": [0, 6],\n \"functions\": [\n { \"expression\": \"1/(x-1)+3\", \"color\": \"#118AB2\", \"name\": \"f(x)=1/(x-1)+3\" }\n ],\n \"points\": [\n { \"x\": 1, \"y\": 3, \"color\": \"#FF0000\", \"name\": \"Ω(1,3)\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"x\",\n \"yLabel\": \"f(x)\"\n}\n