Dérivabilité et étude de fonctions

Le cours

1. Nombre dérivé\n\nLe nombre dérivé de $f$ en $x_0$ est la limite (si elle existe) :\n$$f'(x_0) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$\n\nInterprétation graphique : $f'(x_0)$ est le coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au point d'abscisse $x_0$.\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"function\",\n \"title\": \"Nombre dérivé = coefficient directeur de la tangente\",\n \"xRange\": [0, 4],\n \"yRange\": [0, 8],\n \"functions\": [\n { \"expression\": \"x^2\", \"color\": \"#8884d8\", \"name\": \"f(x)=x²\" },\n { \"expression\": \"2*x-1\", \"color\": \"#FF6B6B\", \"name\": \"Tangente en x=1\" }\n ],\n \"points\": [\n { \"x\": 1, \"y\": 1, \"color\": \"#000000\", \"name\": \"A(1,1)\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"x\",\n \"yLabel\": \"f(x)\"\n}\n\n\n## 2. Tangente\n\nL'équation de la tangente à $C_f$ au point $A(x_0, f(x_0))$ est :\n$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$\n\n## 3. Fonction dérivée\n\nSi $f$ est dérivable en tout point de $I$, on définit sa fonction dérivée $f'$ sur $I$.\n\nDérivées usuelles :\n\n| Fonction | Dérivée | Condition |\n|----------|---------|-----------|\n| $k$ (constante) | $0$ | $x \\in \\mathbb{R}$ |\n| $x$ | $1$ | $x \\in \\mathbb{R}$ |\n| $x^n$ | $nx^{n-1}$ | $n \\in \\mathbb{N}^*$, $x \\in \\mathbb{R}$ |\n| $\\frac{1}{x}$ | $-\\frac{1}{x^2}$ | $x \\in \\mathbb{R}^*$ |\n| $\\sqrt{x}$ | $\\frac{1}{2\\sqrt{x}}$ | $x > 0$ |\n| $\\frac{a}{x}$ | $-\\frac{a}{x^2}$ | $x \\in \\mathbb{R}^*$ |\n\n## 4. Opérations sur les dérivées\n\nSoient $u$ et $v$ dérivables sur $I$, $k$ constante :\n- $(u + v)' = u' + v'$\n- $(ku)' = ku'$\n- $(uv)' = u'v + uv'$\n- $\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$ (si $v \\neq 0$)\n\n## 5. Dérivée et sens de variation\n\nThéorème : Soit $f$ dérivable sur $I$ :\n- $f$ est croissante sur $I$ $\\Leftrightarrow$ $f'(x) \\geq 0$ sur $I$\n- $f$ est décroissante sur $I$ $\\Leftrightarrow$ $f'(x) \\leq 0$ sur $I$\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"function\",\n \"title\": \"f'(x) > 0 ⇒ f croissante ; f'(x) < 0 ⇒ f décroissante\",\n \"xRange\": [-2, 4],\n \"yRange\": [-5, 15],\n \"functions\": [\n { \"expression\": \"x^3 - 3*x^2\", \"color\": \"#8884d8\", \"name\": \"f(x)=x³-3x²\" },\n { \"expression\": \"3*x^2 - 6*x\", \"color\": \"#82ca9d\", \"name\": \"f'(x)=3x²-6x\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"x\",\n \"yLabel\": \"y\",\n \"shadeRegions\": [\n { \"inequality\": \"3*x^2-6*x>0\", \"color\": \"rgba(136,132,216,0.1)\" }\n ]\n}\n\n\n## 6. Extremum local\n\nSi $f$ admet un extremum local en $x_0$ et est dérivable en $x_0$, alors $f'(x_0) = 0$.\n\nAttention : La réciproque est fausse ! $f'(x_0) = 0$ n'implique pas nécessairement un extremum.\n\n## 7. Tableau de variations\n\nMéthode pour étudier une fonction $f$ :\n1. Déterminer $D_f$\n2. Calculer $f'(x)$\n3. Étudier le signe de $f'(x)$\n4. Dresser le tableau de variations\n5. Calculer les limites aux bornes si nécessaire\n\n## 8. Application à la broyeuse de manioc\n\n$b(x) = -x^2 + 40x - 225$ pour $x \\in [0, 25]$ (2,5 tonnes = 2500 kg)\n1. $b'(x) = -2x + 40$\n2. $b'(x) = 0 \\Leftrightarrow x = 20$\n3. Signe : $b'(x) > 0$ sur $[0, 20[$ et $b'(x) < 0$ sur $]20, 25]$\n\nmathgraph\n{\n \"type\": \"function\",\n \"title\": \"Bénéfice de la broyeuse : b(x) = -x²+40x-225\",\n \"xRange\": [0, 25],\n \"yRange\": [-50, 200],\n \"functions\": [\n { \"expression\": \"-x^2+40*x-225\", \"color\": \"#0088FE\", \"name\": \"b(x)\" }\n ],\n \"points\": [\n { \"x\": 20, \"y\": 175, \"color\": \"#FF0000\", \"name\": \"Maximum\" }\n ],\n \"showGrid\": true,\n \"showAxes\": true,\n \"xLabel\": \"Quantité (x100 kg)\",\n \"yLabel\": \"Bénéfice (x1000 FCFA)\"\n}\n\n\nBénéfice maximal : $b(20) = -400 + 800 - 225 = 175$ (soit 175 000 FCFA)\nQuantité optimale : 20 × 100 = 2000 kg de manioc.