Triangle rectangle

Le cours

1. Théorème de Pythagore\n\nDans un triangle rectangle :\n$\\text{Hypoténuse}^2 = \\text{côté1}^2 + \\text{côté2}^2$\n\nExemple : Triangle ABC rectangle en A : $BC^2 = AB^2 + AC^2$\n\n## 2. Réciproque du théorème de Pythagore\n\nSi dans un triangle $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors le triangle est rectangle en A.\n\nApplication : Vérifier si un triangle de côtés 5 cm, 12 cm, 13 cm est rectangle :\n$13^2 = 169$, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ ✓\n\n## 3. Cosinus, sinus, tangente\n\nDans un triangle rectangle :\n\n| Rapport | Définition | Formule |\n|---------|------------|---------|\n| Cosinus | $\\cos(\\widehat{A}) = \\frac{\\text{Adjacent}}{\\text{Hypoténuse}}$ | $\\frac{AB}{AC}$ |\n| Sinus | $\\sin(\\widehat{A}) = \\frac{\\text{Opposé}}{\\text{Hypoténuse}}$ | $\\frac{BC}{AC}$ |\n| Tangente | $\\tan(\\widehat{A}) = \\frac{\\text{Opposé}}{\\text{Adjacent}}$ | $\\frac{BC}{AB}$ |\n\n## 4. Propriétés trigonométriques\n\n1. $\\cos^2(\\widehat{A}) + \\sin^2(\\widehat{A}) = 1$\n2. Si $\\widehat{A}$ et $\\widehat{B}$ sont complémentaires ($\\widehat{A} + \\widehat{B} = 90^{\\circ}$) :\n - $\\cos(\\widehat{A}) = \\sin(\\widehat{B})$\n - $\\sin(\\widehat{A}) = \\cos(\\widehat{B})$\n - $\\tan(\\widehat{A}) = \\frac{1}{\\tan(\\widehat{B})}$\n\n## 5. Table trigonométrique et calculatrice\n\nEn Côte d'Ivoire, on utilise :\n- Tables trigonométriques (papier)\n- Calculatrices scientifiques\n- Applications mobiles (avec modération)\n\n## 6. Construction d'un segment de longueur √a\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Début] --> B[Tracer un segment de longueur a+1]\n B --> C[Le partager en a et 1]\n C --> D[Tracer un demi-cercle de diamètre a+1]\n D --> E[Élever une perpendiculaire à l'extrémité du segment 1]\n E --> F[La hauteur est √a]\n\n\nJustification : Avec le théorème de la hauteur dans un triangle rectangle.\n\n## 7. Propriété métrique déduite de l'aire\n\nDans un triangle rectangle, l'aire peut se calculer de deux façons :\n$A = \\frac{1}{2} \\times \\text{côté1} \\times \\text{côté2} = \\frac{1}{2} \\times \\text{hypoténuse} \\times \\text{hauteur}$\n\n## 8. Application au cerf-volant d'Angré\n\nmathgraph\n{\n "type": "points",\n "title": "Cerf-volant - Analyse géométrique",\n "xRange": [0, 100],\n "yRange": [0, 100],\n "points": [\n { "x": 30, "y": 0, "label": "I" },\n { "x": 0, "y": 0, "label": "J" },\n { "x": 0, "y": 80, "label": "K" },\n { "x": 30, "y": 80, "label": "L" }\n ],\n "connectPoints": true,\n "polygons": [\n { "points": [0, 1, 2, 3], "fillColor": "rgba(59, 130, 246, 0.1)" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Longueur (cm)",\n "yLabel": "Hauteur (cm)",\n "lines": [\n { "x1": 0, "y1": 0, "x2": 30, "y2": 80, "color": "#ef4444", "label": "Diagonale IK" }\n ]\n}\n\n\nCalcul de la diagonale IK :\nTriangle IJK rectangle en J : $IJ = 30$, $JK = 80$\n$IK^2 = 30^2 + 80^2 = 900 + 6400 = 7300$\n$IK = \\sqrt{7300} = 10\\sqrt{73} \\approx 85,44$ cm\n\nCalcul d'angles :\n$\\tan(\\widehat{JIK}) = \\frac{80}{30} \\Rightarrow \\widehat{JIK} \\approx 69,4^{\\circ}$\n$\\widehat{IKJ} = 90^{\\circ} - 69,4^{\\circ} = 20,6^{\\circ}$