Équations et inéquations du premier degré dans ℝ

Le cours

1. Équations du premier degré\n\nUne équation du premier degré est de la forme $ax + b = 0$ avec $a \\neq 0$.\nSa solution est $x = -\\frac{b}{a}$.\n\nExemple : $3x + 6 = 0 \\Rightarrow x = -2$\n\n## 2. Résolution d'équations avec parenthèses\n\nPour résoudre $2(x - 3) = 4x + 1$ :\n1. Développer : $2x - 6 = 4x + 1$\n2. Regrouper : $2x - 4x = 1 + 6$\n3. Simplifier : $-2x = 7$\n4. Solution : $x = -\\frac{7}{2}$\n\n## 3. Équations-produit nul\n\nSi $(ax + b)(cx + d) = 0$, alors $ax + b = 0$ ou $cx + d = 0$.\n\nExemple : $(2x - 3)(x + 5) = 0$\nSolutions : $x = \\frac{3}{2}$ ou $x = -5$\n\n## 4. Inéquations du premier degré\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Inéquation ax + b ≥ 0] --> B{Isoler x}\n B --> C[Si a > 0]\n B --> D[Si a < 0]\n C --> E[x ≥ -b/a]\n D --> F[x ≤ -b/a]\n E --> G[Solution : [-b/a, +∞[ ]\n F --> H[Solution : ]-∞, -b/a]]\n\n\n## 5. Systèmes de deux inéquations\n\nRésoudre $\\begin{cases} 2x - 1 \\geq 3 \\\\ x + 2 < 5 \\end{cases}$\n\n1. $2x - 1 \\geq 3 \\Rightarrow 2x \\geq 4 \\Rightarrow x \\geq 2$\n2. $x + 2 < 5 \\Rightarrow x < 3$\n3. Solution : $[2, 3[$ (intersection des deux intervalles)\n\n## 6. Application à la situation d'ATTECOUBE\n\nSoit $x$ la distance en km :\n- Coût 1 : $C_1(x) = 70x + 10000$\n- Coût 2 : $C_2(x) = 90x + 7000$\n\nOn cherche quand $C_1(x) < C_2(x)$ :\n$70x + 10000 < 90x + 7000$\n$10000 - 7000 < 90x - 70x$\n$3000 < 20x$\n$x > 150$\n\nInterprétation :\n- Pour $x > 150$ km (Yamoussoukro), la première entreprise est plus avantageuse\n- Pour $x < 150$ km (Grand-Bassam), la deuxième est plus avantageuse\n- Pour $x = 150$ km, les deux coûts sont égaux\n\n## 7. Vérification des solutions\n\nToujours vérifier que la solution trouvée satisfait l'équation/inéquation initiale.\n\n## 8. Problèmes économiques ivoiriens\n\nLes équations et inéquations permettent de :\n- Comparer des offres de services\n- Optimiser des budgets familiaux\n- Prendre des décisions commerciales\n- Planifier des projets communautaires