Propriétés de Thalès dans un triangle

Le cours

1. Configuration de Thalès\n\nSituation type : Deux droites sécantes en A, coupées par deux droites parallèles.\n\nmathgraph\n{\n "type": "points",\n "title": "Configuration de Thalès",\n "xRange": [0, 10],\n "yRange": [0, 8],\n "points": [\n { "x": 2, "y": 1, "label": "A" },\n { "x": 8, "y": 1, "label": "B" },\n { "x": 9, "y": 7, "label": "C" },\n { "x": 5, "y": 3, "label": "M" },\n { "x": 6, "y": 5, "label": "N" }\n ],\n "connectPoints": false,\n "lines": [\n { "x1": 2, "y1": 1, "x2": 8, "y2": 1, "color": "#3b82f6", "label": "(AB)" },\n { "x1": 2, "y1": 1, "x2": 9, "y2": 7, "color": "#3b82f6", "label": "(AC)" },\n { "x1": 5, "y1": 3, "x2": 6, "y2": 5, "color": "#ef4444", "label": "(MN) // (BC)" },\n { "x1": 8, "y1": 1, "x2": 9, "y2": 7, "color": "#10b981", "label": "(BC)" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": false\n}\n\n\n## 2. Théorème de Thalès\n\nSi (MN) // (BC), alors :\n$\\frac{AM}{AB} = \\frac{AN}{AC} = \\frac{MN}{BC}$\n\nEn pratique : Les rapports des longueurs sont égaux.\n\n## 3. Conséquence du théorème\n\nSi (MN) // (BC), alors :\n$\\frac{AM}{MB} = \\frac{AN}{NC}$\n\n## 4. Réciproque du théorème de Thalès\n\nSi $\\frac{AM}{AB} = \\frac{AN}{AC}$ et si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, alors (MN) // (BC).\n\n## 5. Partage d'un segment\n\nPour partager un segment [AB] en 5 segments de même longueur :\n1. Tracer une demi-droite [Ax)\n2. Porter 5 segments égaux sur cette demi-droite\n3. Joindre le dernier point à B\n4. Tracer les parallèles à cette ligne\n\n## 6. Application à la situation du toit\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Toit triangulaire] --> B[Barre horizontale: 10m]\n A --> C[Barre verticale: 3m]\n B --> D[Nouvelle barre à 2m]\n D --> E[Configuration de Thalès]\n E --> F[Calcul par proportionnalité]\n F --> G[Longueur ≈ 1,2m]\n\n\nCalcul détaillé :\nLe toit forme un triangle. Soit :\n- Hauteur totale du triangle : H\n- Base : 10 m\n- Première barre verticale à une distance x de l'extrémité : hauteur = 3 m\n- Deuxième barre à 2 m de la première : distance = x + 2\n\nPar Thalès : $\\frac{3}{H} = \\frac{x}{L}$ et $\\frac{h}{H} = \\frac{x+2}{L}$\noù h est la hauteur recherchée, L est la longueur totale de la base (10 m).\n\nSans connaître x, on peut utiliser directement : $\\frac{h}{3} = \\frac{x+2}{x}$\nMais si la barre est à 2 m de l'extrémité (hypothèse simplifiée), alors :\n$\\frac{h}{3} = \\frac{2}{x}$ avec $x$ déterminé par $\\frac{3}{H} = \\frac{x}{10}$\n\nSolution pratique : Si la première barre est au milieu (x=5), alors :\n$\\frac{h}{3} = \\frac{5+2}{5} = \\frac{7}{5} = 1,4$ donc $h = 3 \\times 1,4 = 4,2$ m\n\n## 7. Quatrième proportionnelle\n\nTrouver x tel que $\\frac{a}{b} = \\frac{c}{x}$ : $x = \\frac{b \\times c}{a}$\n\n## 8. Exercices types en Côte d'Ivoire\n\n- Calcul de hauteurs d'arbres ou de bâtiments\n- Détermination de distances inaccessibles\n- Partage de terrains agricoles\n- Construction de structures (charpentes, ponts)