Pyramides et cônes

Le cours

1. Pyramide régulière : définitions\n\nUne pyramide régulière est une pyramide dont :\n1. La base est un polygone régulier (carré, triangle équilatéral, etc.)\n2. Le sommet se projette orthogonalement au centre de la base\n\nVocabulaire :\n- Sommet : point S au-dessus de la base\n- Base : polygone régulier (ABCDE pour une pyramide à base pentagonale)\n- Faces latérales : triangles isocèles de sommet S\n- Hauteur : distance du sommet au plan de la base (notée h)\n- Apothème : hauteur d'une face latérale (notée a)\n- Arête latérale : segment joignant le sommet à un sommet de la base\n\n## 2. Cône de révolution : définitions\n\nUn cône de révolution est engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un de ses côtés de l'angle droit.\n\nVocabulaire :\n- Sommet : point S\n- Base : disque de centre O et de rayon r\n- Génératrice : segment joignant le sommet à un point du cercle de base (notée g)\n- Hauteur : distance SO = h\n- Angle de développement : angle du secteur circulaire formant le patron\n\n## 3. Relations fondamentales\n\nPour un cône de révolution :\n1. $g^2 = h^2 + r^2$ (théorème de Pythagore)\n2. Longueur de l'arc de base = $2\\pi r$\n3. Angle de développement $\\alpha$ (en degrés) : $\\alpha = \\frac{r}{g} \\times 360^{\\circ}$\n\n## 4. Calcul des volumes\n\n| Solide | Formule du volume | Exemple (Côte d'Ivoire) |\n|--------|-------------------|--------------------------|\n| Pyramide | $V = \\frac{1}{3} \\times A_{\\text{base}} \\times h$ | Pyramide à base carrée de 4 m de côté, h = 6 m : $V = \\frac{1}{3} \\times 16 \\times 6 = 32$ m³ |\n| Cône | $V = \\frac{1}{3} \\times \\pi r^2 \\times h$ | Cône de r = 3 m, h = 7 m : $V = \\frac{1}{3} \\times \\pi \\times 9 \\times 7 \\approx 65,97$ m³ |\n\n## 5. Calcul des aires\n\n| Solide | Aire latérale | Aire totale |\n|--------|---------------|-------------|\n| Pyramide | $A_L = \\frac{1}{2} \\times P_{\\text{base}} \\times a$ (a = apothème) | $A_T = A_L + A_{\\text{base}}$ |\n| Cône | $A_L = \\pi r g$ | $A_T = A_L + \\pi r^2$ |\n\n## 6. Construction des patrons\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Début] --> B{Pyramide ou Cône?}\n B --> C[Pyramide régulière]\n B --> D[Cône de révolution]\n C --> E[1. Tracer la base polygonale]\n C --> F[2. Calculer l'apothème a]\n C --> G[3. Tracer les faces latérales (triangles isocèles)]\n D --> H[1. Tracer le secteur circulaire (angle α)]\n D --> I[2. Tracer le disque de base (rayon r)]\n E --> J[Patron complet]\n F --> J\n G --> J\n H --> J\n I --> J\n\n\n## 7. Propriétés de réduction\n\nSi on réduit un solide par un coefficient k (0 < k < 1) :\n- Les longueurs sont multipliées par k\n- Les aires sont multipliées par k²\n- Les volumes sont multipliés par k³\n\nExemple : Une maquette de pyramide à l'échelle 1:10 :\n- Hauteur : divisée par 10\n- Aire latérale : divisée par 100\n- Volume : divisée par 1000\n\n## 8. Troncs de pyramides et de cônes\n\nUn tronc est la partie d'un solide comprise entre deux plans parallèles.\n\nPour un tronc de pyramide ou de cône :\n- Volume = Volume grand solide - Volume petit solide\n- On utilise souvent la formule : $V = \\frac{1}{3}h(B_1 + \\sqrt{B_1B_2} + B_2)$ où $B_1$ et $B_2$ sont les aires des bases\n\n## 9. Applications en architecture ivoirienne\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Relation entre dimensions d'un cône",\n "xRange": [0, 10],\n "yRange": [0, 15],\n "functions": [\n { "expression": "sqrt(x^2 + 5^2)", "color": "#3b82f6", "name": "g = √(h² + r²) avec r=5" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Hauteur h",\n "yLabel": "Génératrice g",\n "points": [\n { "x": 8, "y": 9.434, "color": "#ef4444", "label": "Cône typique" }\n ]\n}\n\n\nExemples ivoiriens :\n1. Les toits coniques des cases traditionnelles\n2. Les pyramides des monuments historiques\n3. Les silos à grains de forme conique\n4. Les enseignes lumineuses pyramidales\n\n## 10. Extraction de figures planes\n\nDans une représentation en perspective cavalière, on peut extraire :\n- Des triangles rectangles pour calculer des hauteurs\n- Des trapèzes pour les troncs\n- Des secteurs circulaires pour les patrons de cônes\n\nMéthode : Identifier les triangles rectangles utiles (SOA pour un cône, où A est un point du cercle de base).