Équations et inéquations du premier degré dans ℝ×ℝ

Le cours

1. Équations du premier degré à deux variables\n\nUne équation de la forme $ax + by + c = 0$ où $a$ et $b$ ne sont pas tous nuls.\n\nExemple : $2x + 3y - 6 = 0$\nSolutions : (0, 2), (3, 0), (1, $\\frac{4}{3}$), ...\n\n## 2. Vérification d'une solution\n\nLe couple $(x_0, y_0)$ est solution si en remplaçant $x$ par $x_0$ et $y$ par $y_0$, l'égalité est vérifiée.\n\nExemple : Vérifions si (2, 1) est solution de $3x - 2y = 4$ :\n$3 \\times 2 - 2 \\times 1 = 6 - 2 = 4$ ✓\n\n## 3. Systèmes de deux équations\n\nMéthodes de résolution :\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Système d'équations] --> B{Choix de la méthode}\n B --> C[Substitution]\n B --> D[Combinaison]\n B --> E[Graphique]\n C --> F[Isoler une variable]\n D --> G[Éliminer une variable]\n E --> H[Intersection des droites]\n F --> I[Solution unique/infini/aucune]\n G --> I\n H --> I\n\n\n## 4. Résolution par substitution\n\nRésoudre $\\begin{cases} x + y = 10 \\\\ 2x - y = 5 \\end{cases}$\n\n1. De la première équation : $x = 10 - y$\n2. Substituer dans la seconde : $2(10 - y) - y = 5$\n3. $20 - 2y - y = 5$\n4. $-3y = -15$\n5. $y = 5$\n6. $x = 10 - 5 = 5$\n7. Solution : (5, 5)\n\n## 5. Résolution par combinaison\n\nRésoudre $\\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\\\ 2x - y = 1 \\end{cases}$\n\n1. Multiplier la seconde par 2 : $4x - 2y = 2$\n2. Ajouter à la première : $(3x + 2y) + (4x - 2y) = 12 + 2$\n3. $7x = 14$\n4. $x = 2$\n5. Remplacer : $3 \\times 2 + 2y = 12$\n6. $6 + 2y = 12$\n7. $2y = 6$\n8. $y = 3$\n\n## 6. Représentation graphique\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Système d'équations - Jus de Bissap et Gnamancou",\n "xRange": [0, 25],\n "yRange": [0, 25],\n "functions": [\n { "expression": "20 - x", "color": "#3b82f6", "name": "x + y = 20" },\n { "expression": "(9200 - 400*x)/500", "color": "#ef4444", "name": "400x + 500y = 9200" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Bissap (L)",\n "yLabel": "Gnamancou (L)",\n "points": [\n { "x": 8, "y": 12, "color": "#10b981", "label": "Solution (8,12)" }\n ]\n}\n\n\n## 7. Inéquations dans ℝ×ℝ\n\nLa solution d'une inéquation comme $2x + 3y \\leq 6$ est un demi-plan.\n\nMéthode :\n1. Tracer la droite frontière $2x + 3y = 6$\n2. Choisir un point test (0,0)\n3. Vérifier : $2 \\times 0 + 3 \\times 0 = 0 \\leq 6$ ✓\n4. Le demi-plan contenant (0,0) est solution\n\n## 8. Application à la situation\n\nSoit $x$ : litres de Bissap, $y$ : litres de Gnamancou\n\nSystème : $\\begin{cases} x + y = 20 \\\\ 400x + 500y = 9200 \\end{cases}$\n\nRésolution :\n1. De la première : $y = 20 - x$\n2. Substituer : $400x + 500(20 - x) = 9200$\n3. $400x + 10000 - 500x = 9200$\n4. $-100x = -800$\n5. $x = 8$\n6. $y = 20 - 8 = 12$\n\nRéponse à la vendeuse : 8 litres de Bissap et 12 litres de Gnamancou.