Résonance d'intensité d'un circuit RLC série

Le cours

1. Introduction\n\nLa résonance d'intensité dans un circuit RLC série est un phénomène fondamental où l'intensité du courant atteint un maximum pour une fréquence particulière appelée fréquence de résonance. Ce phénomène est largement exploité en électronique, en acoustique, et en mécanique pour la sélection et l'amplification de signaux.\n\nDescription du schéma 1: Dispositif expérimental pour étudier la résonance. Représenter un GBF délivrant une tension sinusoïdale de fréquence variable, en série avec un résistor R, une bobine L (avec résistance interne r), et un condensateur C. Ajouter un ampèremètre AC pour mesurer I, et deux voltmètres AC pour mesurer U (tension du GBF) et U_C (tension aux bornes de C). Indiquer que U est maintenu constant pendant la variation de fréquence.\n\n## 2. Courbe de résonance I = f(N)\n\n### 2.1 Expression de l'intensité\nPour un circuit RLC série alimenté par une tension sinusoïdale u(t) = U_m·cos(ωt) d'amplitude constante, l'intensité efficace est :\n$$I = \\frac{U}{Z} = \\frac{U}{\\sqrt{R^2 + \\left(L\\omega - \\frac{1}{C\\omega}\\right)^2}}$$\n\noù U est la tension efficace constante.\n\n### 2.2 Variation avec la fréquence\nL'intensité I dépend de la fréquence f (ou ω = 2πf) :\n- Quand ω → 0 (basses fréquences) : Z ≈ 1/(Cω) → ∞ ⇒ I → 0\n- Quand ω → ∞ (hautes fréquences) : Z ≈ Lω → ∞ ⇒ I → 0\n- Il existe une valeur ω₀ pour laquelle I est maximum.\n\n### 2.3 Fréquence de résonance\nLe maximum de I se produit quand le terme réactif s'annule :\n$$L\\omega_0 - \\frac{1}{C\\omega_0} = 0$$\nSoit :\n$$\\boxed{\\omega_0 = \\frac{1}{\\sqrt{LC}}} \\quad \\text{et} \\quad \\boxed{f_0 = \\frac{1}{2\\pi\\sqrt{LC}}}$$\n\nÀ la résonance :\n$$Z_0 = R \\quad \\text{(minimum)}$$\n$$I_0 = \\frac{U}{R} \\quad \\text{(maximum)}$$\n$$\\varphi_0 = 0 \\quad \\text{(tension et courant en phase)}$$\n\nDescription du schéma 2: Courbe de résonance I = f(f). Représenter une courbe en cloche symétrique (pour l'échelle linéaire en f) avec maximum à f₀. Indiquer I₀ = U/R. Ajouter une deuxième courbe pour une résistance R' > R, plus large et moins haute. Axes : fréquence f (Hz) en abscisse, intensité I (A) en ordonnée. Marquer f₀, I₀, et les fréquences f₁ et f₂ à I = I₀/√2.\n\n## 3. Caractéristiques de la courbe de résonance\n\n### 3.1 Bande passante\nLa bande passante Δf est l'intervalle de fréquences pour lesquelles :\n$$I \\geq \\frac{I_0}{\\sqrt{2}}$$\n\nSur la courbe I = f(f), Δf = f₂ - f₁, où f₁ et f₂ sont les fréquences de coupure (à -3 dB).\n\n### 3.2 Facteur de qualité\nLe facteur de qualité Q mesure la "finesse" de la résonance :\n$$Q = \\frac{f_0}{\\Delta f} = \\frac{\\text{fréquence de résonance}}{\\text{bande passante}}$$\n\nPlus Q est grand, plus la courbe de résonance est fine et sélective.\n\n### 3.3 Expressions théoriques\n$$\\Delta f = \\frac{R}{2\\pi L}$$\n$$Q = \\frac{L\\omega_0}{R} = \\frac{1}{R}\\sqrt{\\frac{L}{C}} = \\frac{1}{R C \\omega_0}$$\n\nPour un circuit donné, Q est d'autant plus grand que R est petite.\n\n## 4. Phénomène de surtension à la résonance\n\n### 4.1 Tensions aux bornes de L et C\nÀ la résonance :\n- $$U_L = L\\omega_0 I_0 = L\\omega_0 \\cdot \\frac{U}{R} = Q \\cdot U$$\n- $$U_C = \\frac{I_0}{C\\omega_0} = \\frac{1}{C\\omega_0} \\cdot \\frac{U}{R} = Q \\cdot U$$\n\nAinsi : $$U_L = U_C = Q \\cdot U$$\n\n### 4.2 Risques et applications\nLe facteur Q peut être très grand (de 10 à 1000 selon le circuit), donc U_L et U_C peuvent être bien supérieures à la tension d'alimentation U.\n- Risque : Destruction des composants par surtension\n- Application : Circuits d'accord, générateurs de haute tension, allumeurs à étincelles\n\nDescription du schéma 3: Variations de U_C et U_L en fonction de la fréquence. Deux courbes en forme de cloche, U_C maximum légèrement avant f₀, U_L maximum légèrement après f₀. À f₀, U_C = U_L = Q·U. Montrer que U est constant.\n\n## 5. Influence de la résistance\n\n### 5.1 Sur la courbe de résonance\nPour une même bobine L et condensateur C :\n- Si R augmente : I₀ = U/R diminue, Δf augmente, Q diminue → courbe plus large et moins haute\n- Si R diminue : I₀ augmente, Δf diminue, Q augmente → courbe plus fine et plus haute\n\n### 5.2 Circuit RLC réel\nEn pratique, la bobine a une résistance interne r. La résistance totale est R_t = R + r. C'est cette résistance totale qui détermine la résonance.\n\n## 6. Mesures expérimentales\n\n### 6.1 Protocole\n1. Fixer U à une valeur constante (ex: 1 V efficace)\n2. Faire varier la fréquence f du GBF\n3. Pour chaque f, noter I (avec ampèremètre AC)\n4. Tracer I = f(f)\n\n### 6.2 Exploitation\n1. Déterminer graphiquement f₀ (fréquence à I maximum)\n2. Déterminer I₀ = I(f₀)\n3. Trouver f₁ et f₂ tels que I = I₀/√2\n4. Calculer Δf = f₂ - f₁ et Q = f₀/Δf\n5. Vérifier que f₀ ≈ 1/(2π√(LC))\n\n## 7. Applications de la résonance\n\n### 7.1 En électronique\n- Circuits d'accord radio/TV : Sélection d'une station parmi plusieurs\n- Filtres passe-bande : Pour laisser passer une bande de fréquences\n- Générateurs de fréquence : Oscillateurs à quartz\n- Antennes résonantes : Pour un rayonnement efficace\n\n### 7.2 En acoustique\n- Instruments de musique : Cordes, colonnes d'air entrent en résonance\n- Acoustique des salles : Résonances modifient la qualité sonore\n- Casques antibruit : Résonateurs pour absorber certaines fréquences\n\n### 7.3 En mécanique\n- Ponts et structures : Risque de résonance avec le vent ou le trafic\n- Machines tournantes : Éviter les vitesses de rotation critiques\n- Sismographie : Résonance des capteurs pour détecter certaines fréquences\n\n### 7.4 En Côte d'Ivoire\n- Radio diffusion : Sélection des fréquences des nombreuses stations FM\n- Télécommunications : Filtrage dans les réseaux mobiles\n- Contrôle non destructif : Détection de défauts par analyse de résonance\n- Médecine : IRM utilise la résonance magnétique nucléaire\n\n## 8. Exercices d'application\n\nUn circuit RLC série a L = 100 mH, C = 100 nF, R = 10 Ω. Il est alimenté par un GBF délivrant U = 1 V efficace.\n1. Calculer f₀, Q, et Δf.\n2. Déterminer I₀, U_L et U_C à la résonance.\n3. Tracer l'allure de I = f(f).\n4. Quelle serait la nouvelle bande passante si on ajoute 10 Ω en série ?