Puissance en courant alternatif

Le cours

1. Introduction\n\nEn courant alternatif, la puissance instantanée varie dans le temps. Pour caractériser le transfert d'énergie, on définit plusieurs types de puissance : apparente, active et réactive. La compréhension de ces notions est essentielle pour optimiser le transport et la distribution de l'énergie électrique, enjeu crucial pour la Côte d'Ivoire qui vise l'autosuffisance énergétique.\n\nDescription du schéma 1: Réseau de transport électrique en Côte d'Ivoire. Représenter schématiquement la centrale de Soubré, les lignes THT (225 kV) vers Abidjan, les postes de transformation (225/90 kV, 90/33 kV, 33/20 kV), et la distribution finale (400/230 V). Indiquer les pertes en ligne et les transformateurs.\n\n## 2. Puissance instantanée\n\nPour un dipôle soumis à une tension u(t) et traversé par un courant i(t), la puissance instantanée p(t) est :\n$$p(t) = u(t) \\cdot i(t)$$\n\nEn régime sinusoïdal :\n$$u(t) = U_m \\cos(\\omega t) \\quad \\text{et} \\quad i(t) = I_m \\cos(\\omega t - \\varphi)$$\n\nD'où :\n$$p(t) = U_m I_m \\cos(\\omega t) \\cos(\\omega t - \\varphi)$$\n\nEn utilisant l'identité trigonométrique :\n$$p(t) = \\frac{U_m I_m}{2} \\left[ \\cos\\varphi + \\cos(2\\omega t - \\varphi) \\right]$$\n\nSoit avec les valeurs efficaces U = U_m/√2 et I = I_m/√2 :\n$$p(t) = UI \\cos\\varphi + UI \\cos(2\\omega t - \\varphi)$$\n\nLa puissance instantanée comporte :\n- Un terme constant : UI cos φ\n- Un terme variable à la fréquence 2ω : UI cos(2ωt - φ)\n\n## 3. Puissance moyenne (active)\n\n### 3.1 Définition\nLa puissance moyenne P sur une période est :\n$$P = \\frac{1}{T} \\int_0^T p(t) \\, dt$$\n\nLe terme variable de p(t) a une moyenne nulle sur une période, donc :\n$$\\boxed{P = UI \\cos\\varphi}$$\n\nP s'exprime en watt (W). C'est la puissance active qui correspond au transfert moyen d'énergie.\n\n### 3.2 Cas particuliers\n\nRésistance pure (φ = 0) :\n$$P_R = UI = RI^2 = \\frac{U^2}{R}$$\nToute l'énergie est convertie en chaleur (effet Joule).\n\nBobine pure (φ = +π/2) :\n$$P_L = UI \\cos(\\pi/2) = 0$$\nPas de transfert moyen d'énergie, mais échange d'énergie réactive.\n\nCondensateur pur (φ = -π/2) :\n$$P_C = UI \\cos(-\\pi/2) = 0$$\nPas de transfert moyen d'énergie.\n\n## 4. Puissances apparente et réactive\n\n### 4.1 Puissance apparente\n$$S = UI$$\nS'exprime en volt-ampère (VA). C'est la puissance "nominale" du dipôle.\n\n### 4.2 Puissance réactive\n$$Q = UI \\sin\\varphi$$\nS'exprime en volt-ampère réactif (VAR).\n\n- Pour une bobine (φ > 0) : Q > 0 (réactive inductive)\n- Pour un condensateur (φ < 0) : Q < 0 (réactive capacitive)\n\nLa puissance réactive correspond à l'énergie oscillante échangée entre source et dipôle, sans être consommée.\n\n### 4.3 Relation entre puissances\n$$S^2 = P^2 + Q^2$$\n\nOu sous forme de triangle des puissances :\n- Côté horizontal : P\n- Côté vertical : Q\n- Hypoténuse : S\n- Angle φ tel que cos φ = P/S et sin φ = Q/S\n\nDescription du schéma 2: Triangle des puissances. Représenter un triangle rectangle avec P horizontal, Q vertical, S hypoténuse. Angle φ entre S et P. Indiquer les formules : P = S cos φ, Q = S sin φ, S = √(P² + Q²).\n\n## 5. Facteur de puissance\n\n### 5.1 Définition\nLe facteur de puissance est :\n$$F_P = \\cos\\varphi = \\frac{P}{S}$$\n\nC'est un nombre sans unité, toujours ≤ 1.\n\n### 5.2 Importance économique\nUn faible cos φ (typique des installations avec moteurs inductifs) a des conséquences :\n1. Pour le consommateur : Surcharge des câbles (I = P/(U cos φ) plus grand)\n2. Pour le producteur (CIE) : Dimensionnement accru des transformateurs et lignes\n3. Tarification : Facturation de l'énergie réactive excessive\n\n### 5.3 Compensation de l'énergie réactive\nPour améliorer cos φ, on ajoute des condensateurs en parallèle avec la charge inductive. Ils fournissent l'énergie réactive localement, réduisant Q et donc S.\n\nExemple : Pour passer de cos φ₁ à cos φ₂ avec puissance active P constante, la capacité nécessaire est :\n$$C = \\frac{P}{\\omega U^2} (\\tan\\varphi_1 - \\tan\\varphi_2)$$\n\nDescription du schéma 3: Compensation d'énergie réactive dans une usine. Schéma d'une charge inductive (moteur) en parallèle avec une batterie de condensateurs. Montrer le triangle des puissances avant compensation (Q_L positif) et après compensation (Q_total = Q_L - Q_C réduit).\n\n## 6. Énergie électrique échangée\n\n### 6.1 Énergie active\nL'énergie active W_a consommée pendant une durée Δt est :\n$$W_a = P \\cdot \\Delta t = UI \\cos\\varphi \\cdot \\Delta t$$\n\nC'est l'énergie facturée par la CIE (en kWh).\n\n### 6.2 Énergie réactive\nL'énergie réactive W_r échangée pendant Δt est :\n$$W_r = Q \\cdot \\Delta t = UI \\sin\\varphi \\cdot \\Delta t$$\n\nEn kVARh. Au-delà d'un certain seuil, elle est facturée.\n\n### 6.3 Dans un dipôle RLC série\nPour un dipôle RLC série d'impédance Z et de phase φ :\n$$P = RI^2 = \\frac{U^2}{Z^2} R = \\frac{U^2}{Z} \\cos\\varphi$$\n$$Q = (L\\omega - \\frac{1}{C\\omega}) I^2 = \\frac{U^2}{Z} \\sin\\varphi$$\n\n## 7. Transport sous haute tension\n\n### 7.1 Principe\nLes pertes en ligne par effet Joule sont : $$P_{\\text{pertes}} = R_{\\text{ligne}} I^2$$\nPour une puissance active P à transporter : $$I = \\frac{P}{U \\cos\\varphi}$$\nDonc : $$P_{\\text{pertes}} = R_{\\text{ligne}} \\frac{P^2}{U^2 \\cos^2\\varphi}$$\n\nLes pertes sont inversement proportionnelles au carré de la tension U.\n\n### 7.2 Exemple chiffré\nTransport de P = 100 MW sur R_ligne = 1 Ω :\n- À U = 20 kV : I = P/U = 5000 A, Pertes = 1 × (5000)² = 25 MW (25% !)\n- À U = 225 kV : I = 444 A, Pertes = 1 × (444)² ≈ 0,2 MW (0,2%)\n\n### 7.3 Démonstration expérimentale\nAvec un montage à deux transformateurs (abaisseur/élévateur) et une lampe comme charge, on montre que pour une même puissance, l'échauffement des fils (pertes) est bien moindre en haute tension.\n\n## 8. Applications en Côte d'Ivoire\n\n1. CIE : Contrôle du facteur de puissance des grands industriels\n2. Usines (cimenterie, sucrerie) : Compensation par batteries de condensateurs\n3. Centrale de Soubré : Transport à 225 kV sur 250 km\n4. Réseau de distribution : Optimisation des sections de câbles\n5. Comptage : Compteurs électroniques mesurant P, Q, cos φ\n\n## 9. Exercices pratiques\n\nUne usine de transformation d'anacarde à Bondoukou consomme P = 500 kW sous U = 20 kV avec cos φ = 0,7 (inductif).\n1. Calculer I, S, Q.\n2. Déterminer la capacité C à placer en parallèle pour obtenir cos φ = 0,95.\n3. Calculer le nouveau courant et les pertes en ligne si R_ligne = 0,5 Ω.\n4. Quelle économie annuelle si les pertes sont facturées à 50 FCFA/kWh ?