Oscillations électriques libres dans un circuit LC

Le cours

1. Introduction\n\nUn circuit LC série, constitué d'un condensateur de capacité C et d'une bobine d'inductance L, est le prototype de l'oscillateur électrique. Lorsqu'on charge le condensateur puis qu'on le laisse se décharger dans la bobine, on observe des oscillations électriques libres (non amorties dans le cas idéal). Ce phénomène est fondamental en électronique pour les circuits d'accord, les horloges, et les systèmes de communication.\n\nDescription du schéma 1: Circuit LC série idéal. Représenter un condensateur C en série avec une bobine L (résistance nulle). Ajouter un interrupteur à trois positions : position 1 pour charger C avec une source E, position 2 pour déconnecter la source, position 3 pour fermer le circuit LC. Indiquer la charge q(t) sur le condensateur et le courant i(t) = dq/dt.\n\n## 2. Équation différentielle du circuit LC\n\n### 2.1 Mise en équation\nDans le circuit LC série idéal (sans résistance) :\n- Tension aux bornes du condensateur : $$u_C = \\frac{q}{C}$$\n- Tension aux bornes de la bobine idéale : $$u_L = L \\cdot \\frac{di}{dt}$$\n- Loi des mailles : $$u_L + u_C = 0$$\n\nAvec i = dq/dt, on a di/dt = d²q/dt², donc :\n$$L \\cdot \\frac{d^2q}{dt^2} + \\frac{q}{C} = 0$$\n\nSoit :\n$$\\boxed{\\frac{d^2q}{dt^2} + \\frac{1}{LC} \\cdot q = 0}$$\n\n### 2.2 Forme canonique\nEn posant :\n$$\\omega_0 = \\frac{1}{\\sqrt{LC}}$$\non obtient l'équation de l'oscillateur harmonique :\n$$\\frac{d^2q}{dt^2} + \\omega_0^2 \\cdot q = 0$$\n\n## 3. Solution et caractéristiques des oscillations\n\n### 3.1 Solution générale\nLa solution générale est :\n$$q(t) = Q_m \\cdot \\cos(\\omega_0 t + \\varphi)$$\noù :\n- Q_m : amplitude maximale de charge (en coulomb)\n- φ : phase à l'origine (en radian)\n- ω₀ : pulsation propre (rad/s)\n\nLe courant i(t) s'obtient par dérivation :\n$$i(t) = \\frac{dq}{dt} = -\\omega_0 Q_m \\cdot \\sin(\\omega_0 t + \\varphi)$$\nSoit : $$i(t) = I_m \\cdot \\cos(\\omega_0 t + \\varphi + \\frac{\\pi}{2})$$ avec I_m = ω₀Q_m\n\nDescription du schéma 2: Graphiques de q(t) et i(t) en fonction du temps. Premier graphique : q(t) cosinusoïdal d'amplitude Q_m. Deuxième graphique : i(t) sinusoïdal décalé de π/2, d'amplitude I_m = ω₀Q_m. Montrer que i est maximum quand q = 0, et inversement. Période T₀ = 2π/ω₀.\n\n### 3.2 Grandeurs caractéristiques\n\nPulsation propre : $$\\omega_0 = \\frac{1}{\\sqrt{LC}}$$\n\nPériode propre : $$T_0 = \\frac{2\\pi}{\\omega_0} = 2\\pi \\sqrt{LC}$$\n\nFréquence propre : $$N_0 = \\frac{1}{T_0} = \\frac{1}{2\\pi \\sqrt{LC}}$$\n\nAmplitude de courant : $$I_m = \\omega_0 Q_m = \\frac{Q_m}{\\sqrt{LC}}$$\n\n### 3.3 Détermination des constantes\nLes constantes Q_m et φ dépendent des conditions initiales. Par exemple, si à t=0 :\n- q(0) = Q₀ (condensateur chargé)\n- i(0) = 0 (circuit ouvert)\nAlors : $$Q_m = Q_0$$ et $$\\varphi = 0$$\nDonc : $$q(t) = Q_0 \\cos(\\omega_0 t)$$\n\n## 4. Énergie dans le circuit LC\n\n### 4.1 Énergie totale\nL'énergie totale E du circuit est la somme de :\n- Énergie électrique du condensateur : $$E_e = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{q^2}{C}$$\n- Énergie magnétique de la bobine : $$E_m = \\frac{1}{2} \\cdot L \\cdot i^2$$\n\nSoit : $$E = E_e + E_m = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{q^2}{C} + \\frac{1}{2} \\cdot L \\cdot i^2$$\n\n### 4.2 Conservation de l'énergie\nEn dérivant E par rapport au temps :\n$$\\frac{dE}{dt} = \\frac{q}{C} \\cdot \\frac{dq}{dt} + L \\cdot i \\cdot \\frac{di}{dt} = i \\left( \\frac{q}{C} + L \\cdot \\frac{di}{dt} \\right)$$\n\nOr d'après la loi des mailles : $$\\frac{q}{C} + L \\cdot \\frac{di}{dt} = 0$$\nDonc : $$\\frac{dE}{dt} = 0$$ ⇒ E est constante.\n\nL'énergie totale se conserve ; elle oscille entre forme électrique et magnétique.\n\nDescription du schéma 3: Évolution des énergies E_e et E_m en fonction du temps. Deux courbes sinusoïdales décalées, de somme constante. Quand E_e est maximum (q=±Q_m, i=0), E_m est nulle. Quand E_m est maximum (q=0, i=±I_m), E_e est nulle. Montrer que E = ½·Q_m²/C = ½·L·I_m².\n\n## 5. Analogie oscillateur mécanique-électrique\n\n### 5.1 Correspondance des grandeurs\n\n| Oscillateur mécanique | Oscillateur électrique |\n|---------------------------|----------------------------|\n| Position x(t) | Charge q(t) |\n| Vitesse v(t) = dx/dt | Courant i(t) = dq/dt |\n| Masse m | Inductance L |\n| Constante de raideur k | Inverse de capacité 1/C |\n| Force de rappel -kx | Tension de rappel -q/C |\n| Énergie cinétique ½mv² | Énergie magnétique ½Li² |\n| Énergie potentielle ½kx² | Énergie électrique ½q²/C |\n\n### 5.2 Équations analogues\n- Mécanique : $$m \\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$$\n- Électrique : $$L \\frac{d^2q}{dt^2} + \\frac{1}{C} q = 0$$\n\nMême forme mathématique, mêmes solutions oscillatoires.\n\n## 6. Influence de la résistance (amortissement)\n\nEn réalité, la bobine a une résistance interne r. L'équation devient :\n$$L \\frac{d^2q}{dt^2} + r \\frac{dq}{dt} + \\frac{1}{C} q = 0$$\n\nLa solution est une oscillation amortie exponentiellement :\n$$q(t) = Q_m e^{-\\frac{r}{2L}t} \\cos(\\omega t + \\varphi)$$\navec $$\\omega = \\sqrt{\\omega_0^2 - \\left(\\frac{r}{2L}\\right)^2}$$\n\nPour r faible, ω ≈ ω₀ mais l'amplitude décroît.\n\n## 7. Applications en Côte d'Ivoire\n\n1. Circuits d'accord radio : Pour sélectionner une fréquence dans les postes récepteurs.\n\n2. Horloges électroniques : Dans les microcontrôleurs des systèmes de contrôle industriel.\n\n3. Éclairage fluorescent : Le starter contient un circuit LC qui génère une surtension pour ioniser le gaz.\n\n4. Systèmes de transmission : Modulation de fréquence dans les liaisons sans fil.\n\n5. Dispositifs médicaux : Défibrillateurs cardiaques (stockage et restitution d'énergie).\n\n## 8. Exercices pratiques\n\nUn circuit LC a L = 50 mH et C = 200 nF.\n1. Calculer la fréquence propre N₀ des oscillations.\n2. Si le condensateur est chargé à Q₀ = 10 μC, calculer :\n a) L'énergie totale emmagasinée\n b) Le courant maximal I_m\n3. Donner l'expression de q(t) et i(t) si à t=0, q=Q₀ et i=0.\n4. À quel instant t₁ le courant est-il maximal pour la première fois ?