Résonance d'intensité d'un circuit RLC série

Le cours

1. Rappel : Circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé\n\nUn circuit RLC série est alimenté par un générateur de tension alternative sinusoïdale de fréquence $N$ (ou pulsation $\\omega = 2\\pi N$).\n\nImpédance : $Z = \\sqrt{R^2 + \\left(L\\omega - \\frac{1}{C\\omega}\\right)^2}$\nIntensité efficace : $I = \\frac{U}{Z}$, où $U$ est la tension efficace du générateur.\n\nL'intensité $I$ dépend donc de la fréquence $N$ (via $\\omega$).\n\n## 2. Résonance d'intensité : phénomène observé\n\nExpérience : Pour une tension $U$ constante, on fait varier la fréquence $N$ du générateur et on mesure l'intensité efficace $I$ dans le circuit. On trace la courbe $I = f(N)$.\n\nObservation : La courbe présente un maximum pour une fréquence particulière notée $N_0$, appelée fréquence de résonance. À cette fréquence, l'intensité est maximale : $I_{max} = I_0 = \\frac{U}{R}$.\n\nCondition de résonance : L'impédance $Z$ est minimale et égale à la résistance $R$ lorsque :\n$$L\\omega_0 = \\frac{1}{C\\omega_0}$$\nOn en déduit la fréquence de résonance :\n$$\\omega_0 = 2\\pi N_0 = \\frac{1}{\\sqrt{LC}} \\quad \\text{soit} \\quad N_0 = \\frac{1}{2\\pi\\sqrt{LC}}$$\n\nÀ la résonance, le circuit est purement résistif : $\\varphi = 0$ (tension et intensité en phase).\n\nDescription du schéma 1 : Courbes de résonance I = f(N) pour différentes valeurs de R\nReprésenter un graphique avec la fréquence $N$ en abscisse et l'intensité efficace $I$ en ordonnée. Tracer deux courbes en forme de cloche (résonance) centrées sur la même fréquence $N_0$. La première courbe, pour une résistance $R_1$ faible, est haute et étroite (pic aigu). La seconde, pour une résistance $R_2 > R_1$, est plus basse et plus large (pic aplati). Indiquer $N_0$, $I_{0,max} = U/R_1$, $I'_{0,max} = U/R_2$. Légender : "$R_1$ faible (pic aigu)", "$R_2$ fort (pic large)", "Fréquence de résonance $N_0$".\n\n## 3. Caractéristiques de la résonance : bande passante et facteur de qualité\n\nBande passante $\\Delta N$ : Intervalle de fréquences pour lesquelles l'intensité $I$ est supérieure ou égale à $\\frac{I_{max}}{\\sqrt{2}} \\approx 0,707 \\, I_{max}$. Sur la courbe, c'est la largeur du pic mesurée à mi-hauteur (à $I_{max}/\\sqrt{2}$). Plus la courbe est étroite (pic aigu), plus la bande passante est petite et plus le circuit est sélectif.\n\nFacteur de qualité $Q$ : C'est une mesure de l'acuité de la résonance (de la sélectivité).\n$$Q = \\frac{N_0}{\\Delta N}$$\nPlus $Q$ est grand, plus le pic est aigu et sélectif.\n\nAutres expressions de $Q$ :\n- $Q = \\frac{L\\omega_0}{R} = \\frac{1}{R}\\sqrt{\\frac{L}{C}}$\n- $Q = \\frac{U_L}{U} = \\frac{U_C}{U}$ à la résonance (phénomène de surtension).\n\n## 4. Phénomène de surtension à la résonance\n\nÀ la résonance, bien que la tension aux bornes du circuit ($U$) soit fixée, les tensions aux bornes de la bobine ($U_L$) et du condensateur ($U_C$) peuvent devenir très supérieures à $U$ si le facteur de qualité $Q$ est grand.\n\nOn a à la résonance :\n$$U_L = L\\omega_0 I_0 = L\\omega_0 \\frac{U}{R} = Q \\, U$$\n$$U_C = \\frac{1}{C\\omega_0} I_0 = \\frac{1}{C\\omega_0} \\frac{U}{R} = Q \\, U$$\n\nAttention : $U_L$ et $U_C$ sont en opposition de phase, donc $U_L + U_C = 0$ (leurs valeurs instantanées s'annulent), mais leurs valeurs efficaces sont égales et peuvent être $Q$ fois plus grandes que $U$. Cela peut endommager les composants (perforation d'un condensateur).\n\nDescription du schéma 2 : Tensions aux bornes des dipôles à la résonance\nReprésenter un circuit RLC série avec un GBF. Indiquer les tensions efficaces $U$, $U_R$, $U_L$, $U_C$. Montrer par des rapports que $U_R = U$ (car $I_0=U/R$), et que $U_L = U_C = Q U$, avec $Q > 1$. Dessiner des barres de longueur proportionnelle : barre pour $U$ de longueur 1, barres pour $U_L$ et $U_C$ de longueur $Q$ (plus longues). Légender : "$U_L = Q U$", "$U_C = Q U$", "$U_R = U$", "Surtension si $Q$ grand".\n\n## 5. Influence de la résistance R\n\n- Si $R$ diminue :\n - $I_{max} = U/R$ augmente.\n - La bande passante $\\Delta N$ diminue (le pic devient plus étroit).\n - Le facteur de qualité $Q = \\frac{L\\omega_0}{R}$ augmente.\n - La sélectivité augmente, mais les surtensions deviennent plus importantes.\n\n- Si $R$ augmente, c'est l'inverse.\n\n## 6. Analogie avec la résonance en mécanique\n\nIl existe une forte analogie entre le circuit RLC électrique et un oscillateur mécanique amorti (masse-ressort-amortisseur) :\n\n| Circuit électrique RLC | Oscillateur mécanique |\n|----------------------------|----------------------------|\n| Inductance $L$ | Masse $m$ |\n| Inverse de la capacité $1/C$ | Raideur $k$ |\n| Résistance $R$ | Coefficient de frottement $f$ |\n| Charge $q$ | Élongation $x$ |\n| Intensité $i$ | Vitesse $v$ |\n| Fréquence de résonance $N_0 = \\frac{1}{2\\pi\\sqrt{LC}}$ | Fréquence propre $N_0 = \\frac{1}{2\\pi}\\sqrt{\\frac{k}{m}}$ |\n| Facteur de qualité $Q = \\frac{L\\omega_0}{R}$ | Facteur de qualité $Q = \\frac{m\\omega_0}{f}$ |\n\n## 7. Applications de la résonance\n\nEn électronique :\n- Tuner de radio : Le circuit RLC du récepteur est accordé (en variant $C$ ou $L$) sur la fréquence $N_0$ de l'émetteur désiré. Il laisse passer ce signal (forte intensité) et rejette les autres.\n- Filtres passe-bande : Laissent passer une bande de fréquences centrée sur $N_0$.\n\nEn mécanique :\n- Effondrement de ponts : Si la fréquence des pas de soldats ou du vent coïncide avec la fréquence propre du pont, l'amplitude des oscillations peut devenir destructrice (ex : pont de Tacoma, 1940).\n- Balances : Certaines balances à quartz utilisent la résonance.\n\nEn acoustique :\n- Instruments de musique : Une corde ou une colonne d'air entre en résonance à ses fréquences propres, produisant des notes.\n- Casque anti-bruit : Utilise la résonance pour annuler les ondes sonores.