Auto-induction

Le cours

1. Introduction à l'auto-induction

L'auto-induction est un cas particulier d'induction électromagnétique où le champ magnétique créé par le courant dans un circuit induit une force électromotrice dans le même circuit. Ce phénomène est dû au fait que le flux magnétique à travers le circuit varie lorsque l'intensité du courant change. En Côte d'Ivoire, l'auto-induction est importante pour comprendre le fonctionnement des ballasts des lampes fluorescentes très utilisées dans les écoles et bureaux, des bobines d'arrêt dans les alimentations électroniques, et des systèmes d'allumage des moteurs à essence des générateurs et véhicules.

2. Flux propre

2.1. Définition

Le flux propre \( \\Phi_p \) est le flux magnétique à travers un circuit créé par le courant qui circule dans ce même circuit.

2.2. Expression

Pour beaucoup de circuits (bobines, solénoïdes), le flux propre est proportionnel à l'intensité du courant i :

\( \\Phi_p = L i \)

Où L est l'inductance (ou coefficient d'auto-induction) du circuit.

2.3. Cas du solénoïde

Pour un solénoïde long de N spires, de longueur ℓ, de section S : Le champ magnétique à l'intérieur est \( B = \\mu_0 n i \) avec \( n = N/\ell \) Le flux à travers une spire est \( \\Phi_1 = B S = \\mu_0 n S i \) Le flux propre total à travers les N spires est : \( \\Phi_p = N \\Phi_1 = N \\mu_0 n S i = \\mu_0 n^2 \ell S i \)

Donc \( L = \\mu_0 n^2 \ell S = \\mu_0 n^2 V \) où V = ℓS est le volume du solénoïde.

3. Inductance L

3.1. Définition

L'inductance L d'un circuit est le coefficient de proportionnalité entre le flux propre et le courant : \( L = \\frac{\\Phi_p}{i} \)

3.2. Unité

Le henry (H) : \( 1 \\ \\text{H} = 1 \\ \\text{Wb/A} = 1 \\ \\text{V·s/A} \)

Sous-multiples : millihenry (mH), microhenry (μH)

3.3. Ordres de grandeur

• Petite bobine : quelques mH à quelques H
• Solénoïde sans noyau : μH à mH
• Solénoïde avec noyau de fer : jusqu'à plusieurs H
• Transformateurs : mH à H

3.4. Facteurs influençant L

Pour un solénoïde : - Proportionnel au carré du nombre de spires par unité de longueur (n²) - Proportionnel au volume (ℓS) - Multipliée par μᵣ (perméabilité relative) si noyau magnétique (fer : μᵣ ≈ 1000-10000)

Description du schéma 1: Flux propre dans une bobine Représenter une bobine (solénoïde) parcourue par un courant i. Tracer les lignes de champ magnétique à l'intérieur (parallèles) et à l'extérieur (boucles). Montrer que ces lignes traversent les spires de la bobine elle-même, créant le flux propre. Indiquer que le flux à travers chaque spire est \( \\Phi_1 = B S \), et le flux total \( \\Phi_p = N \\Phi_1 \). Légender : "Courant i crée le champ B", "Flux propre \( \\Phi_p = N B S \)", "\( \\Phi_p = L i \) avec \( L = \\mu_0 n^2 V \) pour un solénoïde".

4. Phénomène d'auto-induction

4.1. Principe

Lorsque le courant i dans un circuit varie, le flux propre \( \\Phi_p = L i \) varie également, ce qui induit une f.é.m. dans le circuit lui-même.

4.2. Loi de l'auto-induction (loi de Faraday-Lenz appliquée au flux propre)

\( e = -\\frac{d\\Phi_p}{dt} = -L \\frac{di}{dt} \)

Le signe négatif exprime que la f.é.m. auto-induite s'oppose à la variation du courant (loi de Lenz).

4.3. Interprétation physique

• Si di/dt > 0 (i augmente) : e < 0, la f.é.m. s'oppose à l'augmentation
• Si di/dt < 0 (i diminue) : e > 0, la f.é.m. s'oppose à la diminution

La bobine a une "inertie électrique" : elle tend à maintenir le courant constant.

5. Mise en évidence expérimentale

5.1. Retard à l'allumage

Avec une bobine en série avec une lampe, lorsqu'on ferme le circuit, la lampe s'allume avec un retard car la bobine s'oppose à l'établissement du courant.

5.2. Étincelles de rupture

À l'ouverture d'un circuit inductif, la f.é.m. auto-induite peut être très élevée (car di/dt très grand négatif), créant une étincelle aux contacts de l'interrupteur.

5.3. Visualisation à l'oscilloscope

On peut observer l'établissement et l'annulation progressifs du courant dans une bobine.

6. Tension aux bornes d'une bobine

6.1. Convention récepteur

Pour une bobine réelle (avec résistance r) : \( u_{AB} = r i + L \\frac{di}{dt} \)

En convention récepteur (flèche tension dans le sens du courant).

6.2. Cas particuliers

• En régime permanent continu : di/dt = 0, donc u = r i (la bobine se comporte comme une résistance)
• Pour une bobine idéale (r = 0) : \( u = L \\frac{di}{dt} \)

6.3. En régime sinusoïdal

Pour une bobine idéale : \( u(t) = L \\frac{di}{dt} \) Si \( i(t) = I_m \\sin(\\omega t) \), alors \( u(t) = L \\omega I_m \\cos(\\omega t) = L \\omega I_m \\sin(\\omega t + \\pi/2) \) La tension est en avance de π/2 sur le courant.

7. Énergie magnétique emmagasinée dans une bobine

7.1. Expression

L'énergie magnétique emmagasinée dans une bobine d'inductance L parcourue par un courant i est : \( E_m = \\frac{1}{2} L i^2 \)

7.2. Démonstration

Puissance reçue par une bobine idéale : \( p = u i = L i \\frac{di}{dt} \) Énergie reçue entre t₁ et t₂ : \( W = \\int_{t_1}^{t_2} p \\, dt = L \\int_{i_1}^{i_2} i \\, di = \\frac{1}{2} L (i_2^2 - i_1^2) \) Si i₁ = 0 et i₂ = I, alors \( E_m = \\frac{1}{2} L I^2 \)

7.3. Ordres de grandeur

Exemple : L = 1 H, I = 1 A → \( E_m = 0,5 \\ \\text{J} \)

7.4. Densité d'énergie magnétique

Dans un solénoïde : \( L = \\mu_0 n^2 V \) et \( B = \\mu_0 n I \) Donc \( E_m = \\frac{1}{2} L I^2 = \\frac{1}{2} \\mu_0 n^2 V I^2 = \\frac{1}{2} \\frac{B^2}{\\mu_0} V \) Densité d'énergie : \( w_m = \\frac{E_m}{V} = \\frac{B^2}{2\\mu_0} \) (en J/m³)

Description du schéma 2: Établissement du courant dans un circuit RL Représenter un circuit simple : source de tension E, interrupteur K, résistance R, bobine L en série. Fermer K à t = 0. Tracer le graphe i(t) : courbe exponentielle croissante vers la valeur asymptotique I₀ = E/R. La constante de temps est τ = L/R. Montrer que di/dt est initialement maximal, puis diminue. À l'ouverture de K, montrer l'étincelle due à la f.é.m. auto-induite élevée. Légender : "Établissement du courant : \( i(t) = \\frac{E}{R}(1 - e^{-t/\\tau}) \)", "τ = L/R : constante de temps", "À l'ouverture : f.é.m. auto-induite peut dépasser E".

8. Applications de l'auto-induction

8.1. Ballasts pour lampes fluorescentes

Limitent le courant et fournissent une haute tension à l'allumage.

8.2. Bobines d'arrêt (selfs)

Dans les alimentations, filtrent les variations de courant et réduisent les parasites.

8.3. Systèmes d'allumage des moteurs à essence

La bobine d'allumage (transformateur à noyau ouvert) utilise l'auto-induction pour générer la haute tension des bougies.

8.4. Protection contre les surtensions

Les bobines limitent les pics de courant lors des commutations.

8.5. Stockage d'énergie

Dans certains systèmes électroniques de puissance.

9. Association d'inductances

9.1. En série

\( L_{\\text{eq}} = L_1 + L_2 + \\cdots \) (si pas de couplage magnétique)

9.2. En parallèle

\( \\frac{1}{L_{\\text{eq}}} = \\frac{1}{L_1} + \\frac{1}{L_2} + \\cdots \) (si pas de couplage)

10. Applications en contexte ivoirien

10.1. Éclairage public

Les ballasts des lampes à vapeur de sodium ou fluorescentes utilisent l'auto-induction.

10.2. Groupes électrogènes

Les systèmes d'allumage des moteurs Diesel utilisent des bobines.

10.3. Électronique de puissance

Dans les onduleurs et convertisseurs pour l'énergie solaire.

10.4. Protection des équipements

Parasurtenseurs avec inductances pour protéger les appareils électroniques contre les surtensions du réseau.

11. Exercice guidé : étude d'une bobine de ballast

Une lampe fluorescente de 40 W utilise un ballast (bobine de self) de L = 1,5 H et de résistance r = 30 Ω. Elle est alimentée en 220 V, 50 Hz.

1. Calculer l'impédance de la bobine à 50 Hz.
2. Calculer le courant efficace dans la bobine seule (si elle était seule sur le réseau).
3. En réalité, la lampe et le ballast sont en série. La lampe a une résistance équivalente de 200 Ω. Calculer le courant total.
4. Calculer la puissance dissipée dans le ballast.
5. Calculer l'énergie magnétique maximale stockée dans le ballast.
6. Expliquer pourquoi le ballest est nécessaire pour une lampe fluorescente.

Solution : 1. Impédance de la bobine : \( Z_L = \\sqrt{r^2 + (L\\omega)^2} \) avec \( \\omega = 2\\pi f = 100\\pi \\ \\text{rad/s} \) \( L\\omega = 1,5 \\times 100\\pi = 150\\pi \\approx 471,2 \\ \\Omega \) \( Z_L = \\sqrt{30^2 + (471,2)^2} = \\sqrt{900 + 222\\ 029} = \\sqrt{222\\ 929} \\approx 472,2 \\ \\Omega \)

2. Courant dans la bobine seule : \( I_L = \\frac{U}{Z_L} = \\frac{220}{472,2} \\approx 0,466 \\ \\text{A} \)

3. Courant total avec lampe (R_lampe = 200 Ω) en série : Impédance totale : \( Z_{\\text{tot}} = \\sqrt{(r + R_{\\text{lampe}})^2 + (L\\omega)^2} = \\sqrt{(30 + 200)^2 + (471,2)^2} \) \( Z_{\\text{tot}} = \\sqrt{230^2 + 471,2^2} = \\sqrt{52\\ 900 + 222\\ 029} = \\sqrt{274\\ 929} \\approx 524,3 \\ \\Omega \) \( I = \\frac{U}{Z_{\\text{tot}}} = \\frac{220}{524,3} \\approx 0,420 \\ \\text{A} \)

4. Puissance dissipée dans le ballast : \( P_{\\text{ballast}} = r I^2 = 30 \\times (0,420)^2 = 30 \\times 0,1764 = 5,29 \\ \\text{W} \)

5. Énergie magnétique maximale : Courant maximal : \( I_m = I\\sqrt{2} = 0,420 \\times 1,414 \\approx 0,594 \\ \\text{A} \) \( E_m = \\frac{1}{2} L I_m^2 = \\frac{1}{2} \\times 1,5 \\times (0,594)^2 = 0,75 \\times 0,353 = 0,265 \\ \\text{J} \)

6. Rôle du ballast : - Limite le courant dans la lampe (sans ballast, la lampe attirerait un courant trop important et serait détruite) - Fournit une tension élevée au démarrage (grâce à la f.é.m. auto-induite à l'ouverture du starter) - Stabilise le courant malgré les variations de tension du réseau - Améliore le facteur de puissance quand combiné avec un condensateur

Description du schéma 3: Circuit d'une lampe fluorescente avec ballast Représenter le circuit complet d'une lampe fluorescente : source 220V ~, ballast (bobine L, résistance r), starter (interrupteur automatique à bilame), tube fluorescent avec électrodes aux deux extrémités. Montrer le chemin du courant : au démarrage, le starter fermé, courant établit dans le ballast et électrodes qui chauffent ; puis starter s'ouvre, f.é.m. auto-induite du ballast crée une haute tension qui ionise le gaz ; enfin, le tube conduit, le starter reste ouvert. Légender : "Ballast : limite le courant", "Starter : crée l'impulsion haute tension", "F.é.m. auto-induite à l'ouverture du starter".