ÉQUILIBRE D'UN SOLIDE SOUMIS À DEUX, PUIS À TROIS FORCES

Le cours

1. Introduction à l'équilibre\n\nUn solide est en équilibre quand son centre d'inertie est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme dans un référentiel galiléen. En pratique, on considère l'équilibre statique (immobilité).\n\nApplications en Côte d'Ivoire :\n- Échafaudages sur les chantiers\n- Structures des marchés couverts\n- Suspension des enseignes publicitaires\n- Stabilisation des pylônes électriques\n\n## 2. Équilibre d'un solide soumis à deux forces\n\nCondition nécessaire et suffisante : Un solide soumis à deux forces $\\overrightarrow{F}_1$ et $\\overrightarrow{F}_2$ est en équilibre si et seulement si :\n$$\\overrightarrow{F}_1 + \\overrightarrow{F}_2 = \\overrightarrow{0}$$\nc'est-à-dire :\n1. $\\overrightarrow{F}_1$ et $\\overrightarrow{F}_2$ ont même droite d'action\n2. $\\overrightarrow{F}_1$ et $\\overrightarrow{F}_2$ ont même intensité : $F_1 = F_2$\n3. $\\overrightarrow{F}_1$ et $\\overrightarrow{F}_2$ sont de sens opposés\n\nCas particulier : Les deux forces sont colinéaires et opposées.\n\n## 3. Exemples concrets à deux forces\n\nSolide suspendu à un fil :\n- Force 1 : Poids $\\overrightarrow{P}$ du solide\n- Force 2 : Tension $\\overrightarrow{T}$ du fil\n- Condition : $\\overrightarrow{P} + \\overrightarrow{T} = \\overrightarrow{0}$ donc $T = P$\n\nSolide posé sur un plan horizontal :\n- Force 1 : Poids $\\overrightarrow{P}$\n- Force 2 : Réaction normale $\\overrightarrow{R}_n$ du support\n- Condition : $\\overrightarrow{P} + \\overrightarrow{R}_n = \\overrightarrow{0}$ donc $R_n = P$\n\nDescription du schéma 1: Deux situations côte à côte. (A) Solide suspendu : cercle représentant le solide, flèche P vers le bas, flèche T vers le haut de même longueur, alignées verticalement. (B) Solide sur plan : rectangle sur ligne horizontale, flèche P vers le bas, flèche Rn vers le haut de même longueur, alignées verticalement. Légende : 'Équilibre à deux forces - Forces colinéaires et opposées'.\n\n## 4. Réactions normale et tangentielle\n\nPour un solide sur un plan incliné, la réaction $\\overrightarrow{R}$ se décompose en :\n- Réaction normale $\\overrightarrow{R}_n$ : perpendiculaire au plan\n- Réaction tangentielle $\\overrightarrow{R}_t$ : parallèle au plan (force de frottement)\n\n$$\\overrightarrow{R} = \\overrightarrow{R}_n + \\overrightarrow{R}_t$$\n\nRôle de $\\overrightarrow{R}_t$ : Empêche le glissement. Si $\\overrightarrow{R}_t = \\overrightarrow{0}$, le solide glisse.\n\n## 5. Solide sur plan incliné - Cas particulier\n\nSans frottement : Le solide glisse car $\\overrightarrow{R}_t = \\overrightarrow{0}$\n\nAvec frottement : Conditions d'équilibre :\n1. $\\overrightarrow{P} + \\overrightarrow{R}_n + \\overrightarrow{R}_t = \\overrightarrow{0}$\n2. Projection selon la normale : $R_n = P \\cos\\alpha$\n3. Projection selon la tangente : $R_t = P \\sin\\alpha$\n\noù $\\alpha$ est l'angle d'inclinaison du plan.\n\n## 6. Équilibre d'un solide soumis à trois forces non parallèles\n\nThéorème : Si un solide est en équilibre sous l'action de trois forces non parallèles, alors :\n1. Les trois forces sont coplanaires (dans un même plan)\n2. Les trois forces sont concourantes (leurs droites d'action se coupent en un même point)\n3. La somme vectorielle est nulle : $\\overrightarrow{F}_1 + \\overrightarrow{F}_2 + \\overrightarrow{F}_3 = \\overrightarrow{0}$\n\nMéthode graphique de résolution (règle du triangle des forces) :\n1. Tracer $\\overrightarrow{F}_1$ à l'échelle\n2. À l'extrémité de $\\overrightarrow{F}_1$, tracer $\\overrightarrow{F}_2$\n3. Le vecteur qui ferme le triangle est $\\overrightarrow{F}_3$\n\nDescription du schéma 2: Triangle des forces. Trois vecteurs formant un triangle fermé : F1 de A à B, F2 de B à C, F3 de C à A. Échelle indiquée. Légende : 'Condition d'équilibre : F1 + F2 + F3 = 0'. Angles internes du triangle notés α, β, γ.\n\n## 7. Exemple : Panier suspendu par deux cordes\n\nSituation : Panier de fruits suspendu par deux cordes faisant des angles $\\theta_1$ et $\\theta_2$ avec l'horizontale.\n\nForces en présence :\n1. $\\overrightarrow{P}$ : poids du panier (vertical, vers le bas)\n2. $\\overrightarrow{T}_1$ : tension de la corde 1\n3. $\\overrightarrow{T}_2$ : tension de la corde 2\n\nConditions d'équilibre :\n$$\\overrightarrow{P} + \\overrightarrow{T}_1 + \\overrightarrow{T}_2 = \\overrightarrow{0}$$\n\nProjection sur les axes (méthode analytique) :\nSur Ox horizontal : $T_1 \\cos\\theta_1 - T_2 \\cos\\theta_2 = 0$\nSur Oy vertical : $T_1 \\sin\\theta_1 + T_2 \\sin\\theta_2 - P = 0$\n\nRésolution : On obtient un système de 2 équations à 2 inconnues ($T_1$ et $T_2$).\n\n## 8. Applications techniques en Côte d'Ivoire\n\n1. Ponts suspendus :\n- Exemple : Pont sur la Comoé\n- Les câbles principaux supportent le tablier\n- Équilibre des forces dans les suspentes\n\n2. Grues de chantier :\n- Équilibre du bras avec contrepoids\n- Calcul des tensions dans les câbles\n\n3. Lignes électriques :\n- Suspension des câbles entre pylônes\n- Tension optimale pour éviter l'affaissement\n\nDescription du schéma 3: Application concrète : schéma simplifié d'un pont suspendu. Tablier horizontal, deux pylônes, câbles principaux paraboliques, suspentes verticales. Flèches indiquant : P (poids du tablier), T (tensions dans les câbles), Rn (réactions des pylônes). Légende : 'Équilibre des forces dans un pont suspendu'.\n\n## 9. Méthodes de résolution\n\nMéthode graphique :\n1. Choisir une échelle (ex: 1 cm = 10 N)\n2. Tracer les forces connues\n3. Construire le polygone des forces fermé\n4. Mesurer les forces inconnues\n\nMéthode analytique :\n1. Choisir un repère (Ox, Oy)\n2. Projeter toutes les forces sur les axes\n3. Écrire $\\sum F_x = 0$ et $\\sum F_y = 0$\n4. Résoudre le système d'équations\n\n## 10. Cas particuliers importants\n\nTrois forces parallèles : Condition supplémentaire sur les moments (voir leçon suivante).\n\nForces concourantes en un point : Le point de concours est le point d'application virtuel.\n\nÉquilibre stable vs instable :\n- Stable : Après petite perturbation, retour à la position d'équilibre\n- Instable : Après petite perturbation, éloignement de la position\n- Indifférent : Toute position est équilibre