Angles orientés et trigonométrie

Le cours

Angles orientés et trigonométrie

1. Mesure d'un angle en radians

Définition : Le radian est l'unité d'angle dans le système international.

Conversion : - 180° = π radians - 1° = π/180 radians - 1 radian = 180°/π ≈ 57.3°

Formules pratiques : - 90° = π/2 - 60° = π/3 - 45° = π/4 - 30° = π/6

Exemple ivoirien : La rotation de la roue d'un tracteur : un tour complet = 360° = 2π radians Si la roue tourne d'un quart de tour : 90° = π/2 radians

2. Angle orienté de deux vecteurs

Définition : L'angle orienté (𝑢̂,𝑣̂) est l'angle de rotation pour amener 𝑢̂ sur 𝑣̂.

Propriétés : - Mesure algébrique (signée) - (𝑣̂,𝑢̂) = -(𝑢̂,𝑣̂) - (𝑢̂,𝑣̂) + (𝑣̂,𝑤̂) = (𝑢̂,𝑤̂) [modulo 2π]

Mesure principale : Mesure comprise dans ]-π, π]

3. Cercle trigonométrique

Définition : Cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé.

Orientation : Sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d'une montre) = sens positif.

Point image : Pour un angle θ, le point M sur le cercle tel que (𝑖̂,𝑂𝑀̂) = θ.

4. Cosinus et sinus d'un angle orienté

Définition : Si M est le point image de θ sur le cercle trigonométrique, alors : - cosθ = abscisse de M - sinθ = ordonnée de M - M(cosθ, sinθ)

Relation fondamentale : cos²θ + sin²θ = 1

5. Tangente d'un angle orienté

Définition : tanθ = sinθ/cosθ (pour cosθ ≠ 0)

Représentation : Sur le cercle trigonométrique, tanθ est l'ordonnée du point d'intersection de la droite (OM) avec la droite verticale x=1.

6. Valeurs remarquables

Tableau des valeurs à connaître :

7. Propriétés des fonctions trigonométriques

Parité : - cos(-θ) = cosθ (fonction paire) - sin(-θ) = -sinθ (fonction impaire) - tan(-θ) = -tanθ (fonction impaire)

Périodicité : - cos(θ + 2kπ) = cosθ, k∈ℤ - sin(θ + 2kπ) = sinθ - tan(θ + kπ) = tanθ

Symétries : - cos(π - θ) = -cosθ - sin(π - θ) = sinθ - cos(π + θ) = -cosθ - sin(π + θ) = -sinθ - cos(2π - θ) = cosθ - sin(2π - θ) = -sinθ

8. Détermination de la mesure principale

Méthode : Pour un angle θ donné en radians : 1. Diviser θ par 2π : θ = 2kπ + α 2. Choisir k tel que α ∈ ]-π, π] 3. α est la mesure principale

Exemple : θ = 13π/4 13π/4 = 8π/4 + 5π/4 = 2π + 5π/4 Mais 5π/4 > π, donc on retire encore 2π : 5π/4 - 2π = 5π/4 - 8π/4 = -3π/4 -3π/4 ∈ ]-π, π], donc mesure principale = -3π/4

9. Applications en contexte ivoirien

Navigation côtière : - Calcul de cap (angles orientés) - Détermination de position par triangulation

Agriculture : - Orientation des rangées de plants par rapport au soleil - Calcul d'angles de pente des terrains

Construction : - Calcul d'angles pour les charpentes - Orientation des bâtiments

Météorologie : - Direction des vents (angles orientés) - Trajectoire des systèmes nuageux

10. Résolution d'équations trigonométriques simples

Équations de base : 1. cosθ = a (avec -1 ≤ a ≤ 1) Solutions : θ = ±arccos(a) + 2kπ

2. sinθ = a (avec -1 ≤ a ≤ 1) Solutions : θ = arcsin(a) + 2kπ ou θ = π - arcsin(a) + 2kπ

3. tanθ = a (avec a∈ℝ) Solutions : θ = arctan(a) + kπ

Exemple : Résoudre cosθ = 1/2 sur [0, 2π[ cosθ = 1/2 ⇒ θ = π/3 ou θ = 5π/3 (car cos(5π/3) = 1/2)

11. Formules d'addition

À connaître : - cos(a+b) = cosa·cosb - sina·sinb - sin(a+b) = sina·cosb + cosa·sinb - cos(a-b) = cosa·cosb + sina·sinb - sin(a-b) = sina·cosb - cosa·sinb

Conséquences : - cos(2a) = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a - sin(2a) = 2sina·cosa

12. Utilisation du cercle trigonométrique

Lecture directe : - cosθ : projection sur l'axe des abscisses - sinθ : projection sur l'axe des ordonnées - tanθ : longueur sur la tangente au point (1,0)

Quadrants : - QI : 0 à π/2 : cos>0, sin>0 - QII : π/2 à π : cos<0, sin>0 - QIII : π à 3π/2 : cos<0, sin<0 - QIV : 3π/2 à 2π : cos>0, sin<0

13. Conversion degrés ↔ radians

Méthode pratique : - De degrés à radians : multiplier par π/180 - De radians à degrés : multiplier par 180/π

Exemples : - 120° = 120×π/180 = 2π/3 - 5π/6 radians = (5π/6)×(180/π) = 150°

14. Angle orienté dans les transformations

Effet des transformations : - Translation : conserve les angles orientés - Symétrie centrale : change le signe des angles orientés - Symétrie axiale : change le signe des angles orientés - Rotation : ajoute une constante aux angles orientés

15. Applications géométriques

Calcul d'angles : Dans un triangle ABC : - Angle A = (𝐴𝐵̂,𝐴𝐶̂) - Utilisation du produit scalaire : cosA = (𝐴𝐵̂·𝐴𝐶̂)/(AB×AC)

Orientation d'un triangle : L'orientation (sens trigonométrique ou horaire) se détermine par le signe du déterminant.

16. Exercices types

Type 1 : Déterminer la mesure principale de 25π/3 25π/3 = 24π/3 + π/3 = 8π + π/3 Mesure principale : π/3 (car 8π est multiple de 2π)

Type 2 : Résoudre sinθ = -√2/2 sur [0, 2π[ sinθ = -√2/2 ⇒ θ = 5π/4 ou θ = 7π/4

Type 3 : Placer sur le cercle trigonométrique le point image de -π/6 Angle de -30° : dans le sens horaire à partir de l'axe des x Coordonnées : (cos(-π/6), sin(-π/6)) = (√3/2, -1/2)

17. Problèmes concrets

Problème 1 : Un bateau quitte le port d'Abidjan avec un cap de 60° (par rapport au Nord). Après 10 km, il change de cap de +120°. Quel est son nouveau cap ? Nouveau cap = 60° + 120° = 180° (plein Sud)

Problème 2 : Une éolienne à Adiaké tourne à 15 tours par minute. Quelle est sa vitesse angulaire en rad/s ? 15 tours/min = 15×2π rad/min = 30π rad/min = 30π/60 rad/s = π/2 rad/s

18. Importance en physique

Mouvements circulaires : - Position angulaire θ(t) - Vitesse angulaire ω = dθ/dt - Accélération angulaire α = dω/dt

Ondes et oscillations : - Mouvement harmonique : x(t) = A·cos(ωt + φ) - Déphasage entre deux ondes

19. Erreurs fréquentes

• Confondre sens trigonométrique et horaire
• Oublier que la mesure principale est dans ]-π, π]
• Ne pas simplifier les fractions de π
• Confondre cosθ et sinθ sur le cercle

20. Synthèse

Les angles orientés permettent : - De travailler avec des angles signés - D'étudier les rotations et orientations - De modéliser des phénomènes périodiques - De résoudre des problèmes de navigation et de mécanique

La trigonométrie étendue aux angles orientés est essentielle pour toutes les sciences de l'ingénieur.