Angles inscrits

Le cours

Angles inscrits

1. Définitions fondamentales

Angle inscrit : Angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle.

Angle au centre : Angle dont le sommet est le centre du cercle.

Arc intercepté : Partie du cercle comprise entre les côtés de l'angle.

2. Relation angle inscrit / angle au centre

Théorème fondamental : La mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

Si  est un angle inscrit interceptant l'arc BC, et si O est le centre du cercle, alors  = \(\frac{1}{2}\) Ô où Ô est l'angle au centre interceptant le même arc BC.

Conséquence immédiate : Tous les angles inscrits interceptant le même arc sont égaux.

3. Cas particuliers

a) Angle inscrit qui intercepte un diamètre : Si [AB] est un diamètre, et M sur le cercle (M≠A,B), alors l'angle AMB est droit. AMB = 90°

Démonstration : L'angle au centre AOB = 180° (angle plat) Donc AMB = 180°/2 = 90°

b) Angle formé par une corde et une tangente : Si T est le point de tangence, et si [AT] est la tangente au cercle en T, alors l'angle entre la corde [TB] et la tangente [AT] est égal à tout angle inscrit interceptant l'arc TB.

4. Arcs capables

Définition : Étant donné un segment [AB] et un angle α, l'ensemble des points M tels que AMB = α est la réunion de deux arcs de cercle symétriques par rapport à (AB).

Ces arcs sont appelés arcs capables de l'angle α sous-tendu par [AB].

Construction : 1. Tracer la médiatrice de [AB] 2. Construire l'angle α en A avec [AB) 3. Tracer la perpendiculaire en A à ce nouveau côté 4. L'intersection avec la médiatrice donne le centre O du cercle 5. Tracer le cercle de centre O passant par A (et B) 6. L'arc capable est l'arc ne contenant pas A et B (ou son symétrique)

5. Théorème des sinus

Dans un triangle ABC : \(\frac{a}{\sin\hat{A}} = \frac{b}{\sin\hat{B}} = \frac{c}{\sin\hat{C}} = 2R\) où R est le rayon du cercle circonscrit.

Démonstration : Considérons le cercle circonscrit au triangle ABC. Soit O le centre, R le rayon. L'angle au centre AOB = 2Ĉ (angle inscrit/théorème) Dans le triangle isocèle AOB, avec la trigonométrie : AB = 2R×sin(Ĉ) = c Donc c/sinĈ = 2R

6. Aire d'un triangle

Formules : 1. A = \(\frac{1}{2}\) × base × hauteur 2. A = \(\frac{1}{2}\) × ab × sinĈ 3. A = \(\frac{1}{2}\) × bc × sin 4. A = \(\frac{1}{2}\) × ac × sinB̂

Formule de Héron (hors programme mais utile) : A = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] où p = demi-périmètre

7. Quadrilatères inscriptibles

Théorème : Un quadrilatère est inscriptible dans un cercle si et seulement si ses angles opposés sont supplémentaires.

ABCD inscriptible ⇔ Â + Ĉ = 180° et B̂ + D̂ = 180°

Cas particulier : Losange, carré, rectangle sont inscriptibles.

8. Angle inscrit et bissectrice

Propriété : La bissectrice d'un angle inscrit passe par le milieu de l'arc intercepté (qui ne contient pas le sommet de l'angle).

9. Applications pratiques

a) Topographie : Déterminer la position d'un point connaissant les angles sous lesquels on voit deux autres points. b) Architecture : Construire des arcs, des voûtes. c) Navigation : Triangulation pour déterminer une position. d) Astronomie : Mesurer des distances angulaires.

10. Construction d'arcs capables

Méthode pratique : Pour construire l'arc capable de l'angle α sous-tendu par [AB] : 1. Tracer le segment [AB] 2. Construire en A l'angle α avec [AB) comme premier côté 3. Tracer la perpendiculaire en A à ce deuxième côté 4. Tracer la médiatrice de [AB] 5. L'intersection des deux droites est le centre O du cercle 6. Tracer le cercle de centre O passant par A et B 7. L'arc capable est l'arc d'extrémités A et B ne contenant pas le sommet de l'angle α

11. Exemples numériques

Exemple 1 : Cercle de centre O, angle inscrit AMB = 35° interceptant l'arc AB. Alors l'angle au centre AOB = 2×35° = 70°.

Exemple 2 : Dans un triangle ABC, si Â=50°, B̂=70°, alors Ĉ=60° (somme=180°). Si le côté opposé à Â (a=BC) mesure 10cm, alors avec le théorème des sinus : 10/sin50° = b/sin70° = c/sin60° = 2R 10/sin50° ≈ 10/0.766 ≈ 13.05 Donc b ≈ 13.05×sin70° ≈ 13.05×0.94 ≈ 12.27cm c ≈ 13.05×sin60° ≈ 13.05×0.866 ≈ 11.30cm R ≈ 13.05/2 = 6.525cm

12. Exercice type : Problème de construction

Énoncé : A et B sont deux points distants de 6cm. Construire l'ensemble des points M tels que AMB=45°.

Solution : 1. Tracer [AB] de 6cm 2. En A, construire un angle de 45° avec [AB) 3. Tracer la perpendiculaire en A à ce côté 4. Tracer la médiatrice de [AB] 5. L'intersection est O centre du cercle 6. Tracer le cercle de centre O passant par A et B 7. Les arcs capables sont les deux arcs d'extrémités A et B

13. Angle inscrit défini par une corde et une demi-tangente

Théorème : L'angle entre une corde [AT] et la tangente au cercle en T est égal à tout angle inscrit interceptant l'arc AT.

Application : Pour mesurer un angle inaccessible, on peut utiliser cette propriété avec une tangente.

14. Utilisation en géométrie analytique

Équation des arcs capables : Pour A(xA,yA), B(xB,yB), et α donné, l'équation des points M(x,y) tels que AMB=α est : \(\frac{(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)}{\sqrt{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}\sqrt{(x-x_B)^2+(y-y_B)^2}} = \cos\alpha\)

15. Applications en contexte ivoirien

Urbanisme : - Implantation de bâtiments avec contraintes d'angle de vue - Planification de parcs et espaces verts

Agriculture : - Délimitation de parcelles avec des contraintes angulaires - Implantation de systèmes d'irrigation

Architecture : - Conception d'arcs et de voûtes - Calcul des portées

Sport : - Trajectoire optimale pour un lancer - Positionnement des joueurs

16. Problèmes classiques

a) Problème du phare : Deux observateurs voient un phare sous des angles donnés. Déterminer la position du phare. b) Problème du champ : Déterminer la position optimale pour un point d'eau équidistant de trois champs. c) Problème de visibilité : Déterminer les zones visibles depuis un point donné.

17. Démonstrations importantes

Démonstration du théorème angle inscrit/angle au centre : Cas 1 : O centre à l'intérieur de l'angle inscrit Cas 2 : O centre à l'extérieur Cas 3 : O centre sur un côté

Démonstration du théorème des sinus : Via le cercle circonscrit et la relation angle inscrit/angle au centre.

18. Extensions

Angles de segments : Angle formé par une corde et la tangente à une extrémité. Polygones réguliers : Tous les angles au centre sont égaux. Puissance d'un point par rapport à un cercle : (hors programme mais lié)

19. Erreurs fréquentes

• Confondre angle inscrit et angle au centre
• Oublier que l'angle inscrit vaut la MOITIÉ de l'angle au centre
• Ne pas identifier correctement l'arc intercepté
• Utiliser le mauvier arc capable dans les constructions

20. Synthèse

Les angles inscrits permettent : - De résoudre des problèmes de construction - De calculer des angles inaccessibles - D'établir des relations métriques dans les triangles - De modéliser des situations réelles avec des contraintes angulaires

Ils relient la géométrie du cercle à la trigonométrie via le théorème des sinus.