Fonctions affines par intervalles

Le cours

Fonctions affines par intervalles : modélisation des tarifs progressifs

1. Définition et exemples

Une fonction affine par intervalles est une fonction définie par différentes expressions affines sur différents intervalles de son ensemble de définition.

Forme générale : f(x) = a₁x + b₁ si x ∈ I₁ a₂x + b₂ si x ∈ I₂ ... aₖx + bₖ si x ∈ Iₖ

Où les intervalles I₁, I₂, ..., Iₖ forment une partition de Df.

2. Exemples ivoiriens courants

1. Tarifs postaux (La Poste) : - Lettre ≤ 20g : 250 FCFA - 20g < poids ≤ 100g : 400 FCFA - Au-delà : 400 + 10×(poids-100) FCFA

2. Facture d'eau (SODECI) : - Tranche 1 (0-10 m³) : 300 FCFA/m³ - Tranche 2 (10-20 m³) : 500 FCFA/m³ - Tranche 3 (>20 m³) : 800 FCFA/m³

3. Impôt sur le revenu : - Tranches progressives selon le revenu mensuel

4. Transport urbain (SOTRA) : - Tarif normal : 200 FCFA - Tarif réduit étudiants : 150 FCFA - Abonnement mensuel : forfait selon le nombre de voyages

3. Représentation graphique

Le graphique d'une fonction affine par intervalles est constitué de segments de droite (ou de demi-droites).

Étapes de construction : 1. Déterminer les intervalles de définition 2. Pour chaque intervalle, tracer la droite correspondante 3. Ne garder que la partie sur l'intervalle considéré 4. Vérifier la continuité aux points de jonction

Exemple : Forfait SONATEL f(x) = 5000 si 0 ≤ x ≤ 10 f(x) = 5000 + 500(x-10) = 500x si x > 10

Graphique : segment horizontal de (0,5000) à (10,5000), puis demi-droite de pente 500 à partir de (10,5000)

4. Étude des variations

Méthode : Étudier séparément sur chaque intervalle

Tableau de variations : Inclure les bornes des intervalles

Exemple : Pour f(x) = 2x+1 si x<3, f(x) = 10-x si x≥3 - Sur ]-∞,3[ : a=2>0 → croissante - Sur [3,+∞[ : a=-1<0 → décroissante - En x=3 : f(3)=7 (valeur limite)

5. Continuité et discontinuité

Continuité en un point de jonction : Limite à gauche = limite à droite = valeur en ce point

Exemple continu : f(x) = 2x si x≤1, f(x) = x+1 si x>1 En x=1 : 2×1=2 et 1+1=2 → continu

Exemple discontinu : f(x) = 3x si x<2, f(x) = 8 si x≥2 En x=2 : 3×2=6 à gauche, 8 à droite → discontinuité

6. Valeurs particulières

Images aux bornes : Calculer soigneusement

Maximum et minimum : Peuvent se trouver aux bornes des intervalles ou aux extremums locaux des différentes affines

7. Résolution d'équations f(x) = k

Méthode : Résoudre séparément sur chaque intervalle

Exemple : Résoudre f(x)=4 avec f(x)=2x si x<3, f(x)=10-x si x≥3 1. Sur x<3 : 2x=4 → x=2 (valide car 2<3) 2. Sur x≥3 : 10-x=4 → x=6 (valide car 6≥3) Solutions : x=2 et x=6

8. Résolution d'inéquations

Méthode similaire : Résoudre sur chaque intervalle, puis union des solutions

Exemple : f(x) ≥ 5 avec la même fonction 1. Sur x<3 : 2x≥5 → x≥2,5 → solution partielle : [2,5; 3[ 2. Sur x≥3 : 10-x≥5 → x≤5 → solution partielle : [3; 5] Solution totale : [2,5; 5]

9. Modélisation de situations réelles

Étapes : 1. Identifier les différents régimes (tranches) 2. Définir les intervalles correspondants 3. Déterminer l'expression affine sur chaque intervalle 4. Vérifier la cohérence aux limites

Exemple 1 : Taxi urbain Abidjan - Prise en charge : 500 FCFA - 0-5 km : 250 FCFA/km - Au-delà de 5 km : 200 FCFA/km

f(x) = 500 + 250x si 0 ≤ x ≤ 5 f(x) = 500 + 250×5 + 200(x-5) = 1750 + 200x si x > 5

Exemple 2 : Salaire avec commission - Fixe : 150 000 FCFA - Commission : 5% sur les ventes jusqu'à 1 000 000 FCFA - Au-delà : 8% sur la part supérieure

f(x) = 150000 + 0,05x si 0 ≤ x ≤ 1 000 000 f(x) = 150000 + 0,05×1000000 + 0,08(x-1000000) = 200000 + 0,08x si x > 1 000 000

10. Applications économiques

Économie ivoirienne : - Barèmes d'impôts et taxes - Tarifs progressifs des services publics - Stratégies de prix des entreprises - Calculs de rentabilité

11. Utilisation de la calculatrice

Pour le tracé : - Définir la fonction par morceaux - Choisir une fenêtre adaptée - Vérifier les points de jonction

Pour les calculs : - Évaluer la fonction en des points - Résoudre graphiquement des équations

12. Vérifications importantes

Aux points de jonction : 1. La fonction est-elle définie ? 2. Y a-t-il continuité ? 3. Les expressions des deux côtés donnent-elles la même image ?

Cohérence globale : 1. Les intervalles couvrent-ils tout le domaine ? 2. Les pentes sont-elles cohérentes avec le phénomène modélisé ? 3. Les valeurs sont-elles réalistes (prix non négatifs, etc.) ?

13. Erreurs fréquentes

• Mauvais traitement des bornes incluses/exclues
• Oublier de restreindre les solutions à l'intervalle considéré
• Graphique incohérent aux points de jonction
• Confusion entre les différentes expressions
• Mauvais calcul des expressions affines (surtout avec les parties constantes)

Les fonctions affines par intervalles sont essentielles pour modéliser les systèmes de tarification, de taxation et de rémunération qui structurent l'économie ivoirienne, permettant ainsi une analyse précise des coûts et des revenus dans divers contextes.