Dénombrement

Le cours

Dénombrement : compter méthodiquement

1. Notions ensemblistes fondamentales

Ensemble : Collection d'objets (éléments) - Exemple ivoirien : Ensemble des élèves d'une classe, des matières enseignées, des régions de Côte d'Ivoire

Cardinal : Nombre d'éléments d'un ensemble fini, noté Card(A) ou |A|

Ensembles particuliers : - Ensemble vide : ∅, Card(∅) = 0 - Singleton : ensemble à 1 élément

2. Union et intersection

Union A ∪ B : Ensemble des éléments qui sont dans A OU dans B (ou dans les deux)

Intersection A ∩ B : Ensemble des éléments qui sont dans A ET dans B

Exemple ivoirien : A = {élèves pratiquant le football} B = {élèves pratiquant le basket} A ∪ B = élèves pratiquant au moins un des deux sports A ∩ B = élèves pratiquant les deux sports

3. Principe fondamental

Formule du cardinal de l'union : Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) - Card(A ∩ B)

Démonstration : En ajoutant Card(A) et Card(B), on compte deux fois les éléments de A ∩ B, donc on les soustrait une fois.

Application à la situation : Card(espagnol ∪ allemand) = Card(espagnol) + Card(allemand) - Card(espagnol ∩ allemand) 150 = 95 + 67 - Card(espagnol ∩ allemand) Card(espagnol ∩ allemand) = 95 + 67 - 150 = 12 élèves

4. Méthodes de dénombrement

1. Arbre de choix : Représentation hiérarchique des possibilités - Utile pour les choix successifs - Exemple : Choix d'un menu (entrée, plat, dessert) à la cantine

2. Tableau à double entrée : Pour deux caractéristiques - Lignes : valeurs d'une caractéristique - Colonnes : valeurs de l'autre - Cases : intersections

3. Diagramme de Venn : Représentation graphique des ensembles - Cercles qui s'intersectent - Zones correspondant aux intersections

4. Principe multiplicatif : Si un choix peut se faire de m façons et un autre de n façons indépendamment, alors il y a m × n possibilités combinées.

5. Traduction du langage courant

"et" → intersection ∩ "ou" → union ∪ (inclusif) "au moins un" → union "tous les deux" → intersection "ni l'un ni l'autre" → complémentaire de l'union "un seul" → union exclusive (sans l'intersection)

Exemple ivoirien : "Les élèves qui étudient l'anglais ou le français" = anglais ∪ français "Les élèves qui étudient l'anglais et le français" = anglais ∩ français

6. Problèmes types

Type 1 : Choix successifs Une tenue scolaire en Côte d'Ivoire : choix parmi 3 chemises, 2 pagnes, 2 paires de chaussures → 3 × 2 × 2 = 12 tenues possibles

Type 2 : Répartition dans des groupes Répartir 30 élèves en 2 groupes de 15 : nécessite des combinaisons (hors programme de Seconde A)

Type 3 : Avec contraintes Élèves pratiquant au moins un sport parmi 3 On utilise : Card(A ∪ B ∪ C) = somme des cardinaux simples - somme des intersections deux à deux + intersection des trois

7. Applications concrètes en Côte d'Ivoire

Exemple 1 : Sondage politique Sur 1000 personnes sondées à Abidjan : - 600 approuvent le maire - 400 approuvent le préfet - 200 approuvent les deux Combien n'approuvent ni l'un ni l'autre ? Card(maire ∪ préfet) = 600 + 400 - 200 = 800 Donc 1000 - 800 = 200 n'approuvent ni l'un ni l'autre

Exemple 2 : Options au lycée Dans un lycée de Bouaké : - 120 élèves font espagnol - 80 font allemand - 200 élèves au total - Chaque élève fait au moins une langue Combien font les deux langues ? Card(espagnol ∩ allemand) = 120 + 80 - 200 = 0 (aucun ne fait les deux)

Exemple 3 : Compétences professionnelles Dans une entreprise d'Abidjan : - 50 employés savent utiliser Excel - 30 savent utiliser un logiciel de comptabilité - 20 savent utiliser les deux - 10 ne savent utiliser ni l'un ni l'autre Total d'employés ? Card(Excel ∪ Compta) = 50 + 30 - 20 = 60 Total = 60 + 10 = 70 employés

8. Cardinal du complémentaire

Complémentaire de A dans E : A̅ = E \ A (éléments de E qui ne sont pas dans A)

Formule : Card(A̅) = Card(E) - Card(A)

9. Cas de trois ensembles

Formule : Card(A ∪ B ∪ C) = Card(A) + Card(B) + Card(C) - Card(A ∩ B) - Card(A ∩ C) - Card(B ∩ C) + Card(A ∩ B ∩ C)

Mnémonique : On ajoute les simples, on retranche les intersections deux à deux, on ajoute l'intersection des trois.

10. Vérifications et pièges

Vérifications à faire : 1. Aucun cardinal ne peut être négatif 2. Card(A ∩ B) ≤ min(Card(A), Card(B)) 3. Card(A ∪ B) ≥ max(Card(A), Card(B)) 4. Card(A ∪ B) ≤ Card(A) + Card(B)

Pièges courants : - Oublier que "ou" est inclusif (sauf indication contraire) - Compter deux fois les mêmes éléments - Ne pas vérifier la cohérence des résultats - Confondre cardinal et proportion

11. Utilisation de diagrammes

Diagramme de Venn : Très utile pour visualiser 1. Tracer les ensembles 2. Remplir de l'intérieur vers l'extérieur 3. Vérifier les totaux

12. Applications interdisciplinaires

• Probabilités (futur) : Base du calcul des probabilités
• Informatique : Logique booléenne, bases de données
• Gestion : Analyse de marchés, segmentation client
• Sociologie : Études d'opinion, recensements

Le dénombrement est une compétence essentielle pour analyser quantitativement des populations, des marchés, des opinions, et constitue la base du raisonnement probabiliste qui sera développé dans les classes supérieures.