Figures symétriques par rapport à un point

Le cours

Symétrie centrale (par rapport à un point)

Définition

Deux figures sont symétriques par rapport à un point O (centre de symétrie) si, en effectuant une rotation de 180° autour de O, elles se superposent.

On dit aussi que les deux figures ont O comme centre de symétrie.

Symétrique d'un point

Le symétrique du point A par rapport au point O est le point A' tel que : - A, O et A' sont alignés - O est le milieu de [AA']

Notation mathématique : A' est le symétrique de A par rapport à O si et seulement si O est le milieu de [AA'].

Propriété : OA = OA'

Construction du symétrique d'un point

Méthode 1 : À la règle graduée 1. Tracer la droite (AO) 2. Mesurer OA 3. Prolonger de la même longueur après O pour obtenir A'

Méthode 2 : Au compas 1. Tracer la droite (AO) 2. Avec le compas, reporter la longueur OA de l'autre côté de O

Symétrique d'une figure

Pour construire le symétrique d'une figure par rapport à un point O : 1. Construire le symétrique de chaque sommet 2. Relier les points symétriques dans le même ordre

Propriétés de la symétrie centrale

La symétrie centrale conserve :

1. Les distances Si A' et B' sont les symétriques de A et B par rapport à O : A'B' = AB

2. Les angles Si l'angle ABC = 60°, alors l'angle A'B'C' = 60°

3. Les aires Une figure et son symétrique ont la même aire.

4. L'alignement Si A, B, C sont alignés, alors A', B', C' sont aussi alignés.

5. Le parallélisme et la perpendicularité Si (AB) // (CD), alors (A'B') // (C'D') Si (AB) ⊥ (CD), alors (A'B') ⊥ (C'D')

Centres de symétrie de figures particulières

1. Segment Le milieu d'un segment est son centre de symétrie.

2. Cercle Le centre d'un cercle est son centre de symétrie.

3. Parallélogramme Le point d'intersection des diagonales est le centre de symétrie.

4. Rectangle, losange, carré Tous ont un centre de symétrie (intersection des diagonales).

Différence avec la symétrie axiale

Symétrie axiale (par rapport à une droite) : - Utilise une droite comme axe - Ressemble à un miroir - Conservation de l'orientation

Symétrie centrale (par rapport à un point) : - Utilise un point comme centre - Rotation de 180° - Renversement de l'orientation