Applications affines

Le cours

1. Définition des applications affines\n\nUne application affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.\n- $a$ est le coefficient directeur (pente)\n- $b$ est l'ordonnée à l'origine\n\nExemple : Tarif du premier fournisseur : $f(x) = 5000x + 10000$\n\n## 2. Applications linéaires\n\nUne application linéaire est un cas particulier d'application affine avec $b = 0$ : $f(x) = ax$\nElle modélise les situations de proportionnalité.\n\nExemple ivoirien : Prix du riz au marché de Bouaké : $P(x) = 350x$ (350 FCFA/kg)\n\n## 3. Représentation graphique\n\nmathgraph\n{\n "type": "function",\n "title": "Comparaison des tarifs de location",\n "xRange": [0, 12],\n "yRange": [0, 100000],\n "functions": [\n { "expression": "5000*x + 10000", "color": "#3b82f6", "name": "Tarif 1: 5000x+10000" },\n { "expression": "7000*x", "color": "#ef4444", "name": "Tarif unique: 7000x" },\n { "expression": "50000", "color": "#10b981", "name": "Forfait: 50000", "lineStyle": "dashed" }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": true,\n "xLabel": "Durée (heures)",\n "yLabel": "Coût (FCFA)",\n "points": [\n { "x": 8, "y": 50000, "color": "#f59e0b", "label": "Égalité à 8h" }\n ]\n}\n\n\n## 4. Sens de variation\n\n| Valeur de $a$ | Sens de variation | Représentation graphique |\n|---------------|-------------------|--------------------------|\n| $a > 0$ | Croissante | Droite montante |\n| $a < 0$ | Décroissante | Droite descendante |\n| $a = 0$ | Constante | Droite horizontale |\n\n## 5. Propriétés de linéarité\n\nPour une application linéaire $f(x) = ax$ :\n- $f(x + y) = f(x) + f(y)$\n- $f(kx) = kf(x)$ pour tout $k \\in \\mathbb{R}$\n\n## 6. Détermination d'une application affine\n\nPour trouver $a$ et $b$ connaissant deux points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ :\n- $a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$\n- $b = y_1 - a x_1$\n\nExemple : Une application affine passe par A(2, 5) et B(4, 9) :\n$a = \\frac{9-5}{4-2} = 2$, $b = 5 - 2 \\times 2 = 1$ donc $f(x) = 2x + 1$\n\n## 7. Lecture graphique\n\n- Image d'un nombre : Lire l'ordonnée du point de la droite d'abscisse donnée\n- Antécédent d'un nombre : Lire l'abscisse du point de la droite d'ordonnée donnée\n\n## 8. Application à la situation de Korhogo\n\n1. Premier fournisseur, Tarif 1 : $f_1(x) = 5000x + 10000$\n2. Premier fournisseur, Tarif 2 : $f_2(x) = 50000$ (constant)\n3. Deuxième fournisseur : $f_3(x) = 7000x$\n\nComparons $f_1$ et $f_3$ : $5000x + 10000 = 7000x \\Rightarrow 2000x = 10000 \\Rightarrow x = 5$\n- Pour $x < 5$ h : $f_3$ est plus avantageux\n- Pour $x > 5$ h : $f_1$ est plus avantageux\n\nComparons $f_2$ et $f_1$ : $50000 = 5000x + 10000 \\Rightarrow 40000 = 5000x \\Rightarrow x = 8$\n- Pour $x < 8$ h : $f_1$ est plus avantageux que le forfait\n- Pour $x > 8$ h : le forfait est plus avantageux