Angles inscrits

Le cours

1. Définitions\n\n- Angle au centre : Angle dont le sommet est le centre du cercle\n- Angle inscrit : Angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle\n- Arc intercepté : Arc de cercle situé à l'intérieur de l'angle\n\n## 2. Propriété fondamentale\n\nLa mesure d'un angle au centre est le double de celle d'un angle inscrit qui intercepte le même arc.\n\nSi $\\widehat{BAC}$ est un angle inscrit et $\\widehat{BOC}$ l'angle au centre associé :\n$\\text{mes}(\\widehat{BOC}) = 2 \\times \\text{mes}(\\widehat{BAC})$\n\n## 3. Angles inscrits interceptant le même arc\n\nDeux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.\n\nmathgraph\n{\n "type": "points",\n "title": "Angles inscrits interceptant le même arc",\n "xRange": [-5, 5],\n "yRange": [-5, 5],\n "points": [\n { "x": 0, "y": 0, "label": "O" },\n { "x": 3, "y": 0, "label": "A" },\n { "x": 1.5, "y": 2.598, "label": "B" },\n { "x": -1.5, "y": 2.598, "label": "C" },\n { "x": 0.5, "y": 3.5, "label": "P" },\n { "x": -0.5, "y": 3.5, "label": "Q" }\n ],\n "circles": [\n { "cx": 0, "cy": 0, "r": 3, "color": "#3b82f6", "fill": false }\n ],\n "showGrid": true,\n "showAxes": false,\n "angles": [\n { "pointA": "B", "vertex": "A", "pointB": "C", "color": "#ef4444", "label": "∠BAC", "radius": 0.8 },\n { "pointA": "B", "vertex": "P", "pointB": "C", "color": "#10b981", "label": "∠BPC", "radius": 0.6 },\n { "pointA": "B", "vertex": "O", "pointB": "C", "color": "#f59e0b", "label": "∠BOC", "radius": 1.0 }\n ]\n}\n\n\n## 4. Cas particuliers\n\n1. Angle inscrit dans un demi-cercle :\n Tout angle inscrit qui intercepte un demi-cercle est un angle droit (90°).\n\n2. Triangle inscrit dans un cercle :\n Si un triangle est inscrit dans un cercle, les angles opposés sont supplémentaires.\n\n## 5. Démonstration de la propriété\n\nmermaid\ngraph TD\n A[Angle inscrit BAC] --> B{Cas de figure}\n B --> C[O sur un côté]\n B --> D[O à l'intérieur]\n B --> E[O à l'extérieur]\n C --> F[Triangle isocèle OAB]\n D --> G[Somme de deux cas précédents]\n E --> H[Différence de deux cas précédents]\n F --> I[Angle au centre = 2×angle inscrit]\n G --> I\n H --> I\n\n\n## 6. Application à la situation de Man\n\nDans la figure décrite :\n- Points B, C, P sur le cercle de centre O\n- OA est un rayon\n\nLes angles qui ont la même mesure sont :\n- $\\widehat{BPC}$ et $\\widehat{BQC}$ (s'il existe un point Q sur le même arc BC)\n- Ou $\\widehat{BAC}$ et $\\widehat{BPC}$ s'ils interceptent le même arc BC\n\nExemple numérique : Si $\\widehat{BOC} = 80^{\\circ}$, alors tout angle inscrit interceptant l'arc BC mesure $40^{\\circ}$.\n\n## 7. Utilisation en architecture ivoirienne\n\nLes propriétés des angles inscrits sont utilisées pour :\n- La conception d'arcs et de voûtes\n- Le tracé de rosaces et de motifs décoratifs\n- La vérification d'angles droits dans les constructions\n- Le calcul de portées de ponts en arc\n\n## 8. Exercice type BAC ivoirien\n\nSoit un cercle de centre O, points A, B, C sur le cercle avec $\\widehat{BAC} = 35^{\\circ}$.\nCalculer $\\widehat{BOC}$.\n\nSolution : $\\widehat{BOC} = 2 \\times 35^{\\circ} = 70^{\\circ}$\n\nJustification : Angle au centre = 2 × angle inscrit interceptant le même arc.