Circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé

Le cours

1. Introduction\n\nEn régime sinusoïdal forcé, un circuit RLC série est alimenté par un générateur de tension alternative de fréquence N. Contrairement au régime libre, la fréquence des oscillations est imposée par le générateur. L'étude de ce régime est essentielle pour comprendre le fonctionnement des réseaux électriques, des moteurs alternatifs, et des circuits de transmission.\n\nDescription du schéma 1: Circuit RLC série alimenté par un GBF. Représenter un générateur basse fréquence (GBF) délivrant u(t) = U_m·cos(ωt), en série avec une résistance R, une bobine d'inductance L (avec résistance interne r éventuelle), et un condensateur C. Indiquer les tensions u_R, u_L, u_C aux bornes de chaque dipôle. Montrer un ampèremètre pour mesurer i(t).\n\n## 2. Courant alternatif sinusoïdal\n\n### 2.1 Définitions\nUn courant alternatif sinusoïdal s'exprime par :\n$$i(t) = I_m \\cdot \\cos(\\omega t + \\varphi_i)$$\noù :\n- I_m : amplitude ou valeur maximale (A)\n- ω = 2πN : pulsation (rad/s)\n- φ_i : phase à l'origine (rad)\n- N : fréquence (Hz)\n- T = 1/N : période (s)\n\nDe même, une tension sinusoïdale :\n$$u(t) = U_m \\cdot \\cos(\\omega t + \\varphi_u)$$\n\n### 2.2 Valeurs efficaces\nLa valeur efficace I d'un courant périodique est l'intensité du courant continu qui dissiperait la même énergie par effet Joule dans une résistance.\n\nPour un signal sinusoïdal :\n$$I = I_{\\text{eff}} = \\frac{I_m}{\\sqrt{2}} \\quad \\text{et} \\quad U = U_{\\text{eff}} = \\frac{U_m}{\\sqrt{2}}$$\n\nLes multimètres en position AC mesurent les valeurs efficaces.\n\n### 2.3 Déphasage\nLe déphasage de u par rapport à i est :\n$$\\varphi = \\varphi_u - \\varphi_i$$\n\n- Si φ > 0 : u est en avance sur i\n- Si φ < 0 : u est en retard sur i\n- Si φ = 0 : u et i sont en phase\n\n## 3. Lois des mailles en régime sinusoïdal\n\nPour le circuit RLC série :\n$$u(t) = u_R(t) + u_L(t) + u_C(t)$$\n\nAvec :\n- $$u_R = R \\cdot i(t)$$ (en phase avec i)\n- $$u_L = L \\cdot \\frac{di}{dt}$$ (en avance de π/2 sur i)\n- $$u_C = \\frac{1}{C} \\int i(t) dt$$ (en retard de π/2 sur i)\n\nSi i(t) = I_m·cos(ωt), alors :\n- $$u_R = R I_m \\cos(\\omega t)$$\n- $$u_L = L \\omega I_m \\cos\\left(\\omega t + \\frac{\\pi}{2}\\right)$$\n- $$u_C = \\frac{I_m}{C \\omega} \\cos\\left(\\omega t - \\frac{\\pi}{2}\\right)$$\n\n## 4. Diagramme de Fresnel\n\n### 4.1 Principe\nÀ chaque grandeur sinusoïdale x(t) = X_m·cos(ωt + φ), on associe un vecteur de Fresnel :\n- Norme : X_m (ou valeur efficace X = X_m/√2)\n- Direction : angle φ par rapport à l'axe de référence\n\nOn prend généralement l'intensité i comme référence (φ_i = 0).\n\nDescription du schéma 2: Diagramme de Fresnel du circuit RLC. Représenter l'axe de référence horizontal (vecteur I). Vecteur U_R parallèle à I, de longueur R·I. Vecteur U_L perpendiculaire vers le haut, de longueur Lω·I. Vecteur U_C perpendiculaire vers le bas, de longueur I/(Cω). Vecteur résultant U = U_R + U_L + U_C. Angle φ entre U et I. Triangle rectangle formé par U, U_R, et (U_L - U_C).\n\n### 4.2 Construction\n1. Placer \vec{I} horizontal (référence)\n2. \vec{U_R} colinéaire à \vec{I}, longueur R·I\n3. \vec{U_L} perpendiculaire, sens positif, longueur Lω·I\n4. \vec{U_C} perpendiculaire, sens négatif, longueur I/(Cω)\n5. Faire la somme vectorielle : \vec{U} = \vec{U_R} + \vec{U_L} + \vec{U_C}\n\n## 5. Impédance et phase\n\n### 5.1 Impédance complexe\nPour chaque dipôle :\n- Résistance : Z_R = R\n- Bobine idéale : Z_L = jLω\n- Condensateur : Z_C = 1/(jCω) = -j/(Cω)\n\nPour l'association série :\n$$Z = R + jL\\omega + \\frac{1}{jC\\omega} = R + j\\left(L\\omega - \\frac{1}{C\\omega}\\right)$$\n\n### 5.2 Module et argument\nL'impédance Z = |Z| et la phase φ vérifient :\n$$U = Z \\cdot I \\quad \\text{et} \\quad \\varphi = \\arg(Z)$$\n\nD'après le diagramme de Fresnel :\n$$Z = \\sqrt{R^2 + \\left(L\\omega - \\frac{1}{C\\omega}\\right)^2}$$\n\n$$\\tan \\varphi = \\frac{L\\omega - \\frac{1}{C\\omega}}{R}$$\n\n$$\\cos \\varphi = \\frac{R}{Z} \\quad \\text{(facteur de puissance)}$$\n\n## 6. Nature du circuit selon la fréquence\n\n### 6.1 Fréquence de résonance\nÀ la fréquence de résonance f₀, on a : $$L\\omega_0 = \\frac{1}{C\\omega_0}$$\nSoit : $$\\omega_0 = \\frac{1}{\\sqrt{LC}} \\quad \\text{et} \\quad f_0 = \\frac{1}{2\\pi\\sqrt{LC}}$$\nÀ la résonance :\n- Z = R (minimum)\n- φ = 0 (tension et courant en phase)\n- I = U/R (maximum)\n- U_L = U_C = Q·U (surtension, avec Q = Lω₀/R)\n\n### 6.2 Comportements limites\n- Basse fréquence (ω → 0) : Z ≈ 1/(Cω) → ∞, φ ≈ -π/2, circuit capacitif\n- Haute fréquence (ω → ∞) : Z ≈ Lω → ∞, φ ≈ +π/2, circuit inductif\n- À la résonance (ω = ω₀) : Z = R, φ = 0, circuit résistif\n\nDescription du schéma 3: Variation de Z et φ en fonction de la fréquence. Premier graphique : Z(f) en forme de V avec minimum à f₀. Deuxième graphique : φ(f) croissant de -π/2 à +π/2, passant par 0 à f₀. Indiquer les régions capacitive (f < f₀) et inductive (f > f₀).\n\n## 7. Mesures expérimentales\n\n### 7.1 Détermination de Z et φ\nAvec un oscilloscope bicourbe :\n1. Visualiser u(t) sur voie A et u_R(t) sur voie B\n2. u_R(t) est proportionnel à i(t) : i(t) = u_R(t)/R\n3. Mesurer le décalage temporel Δt entre les deux sinusoïdes\n4. $$\\varphi = 2\\pi \\cdot \\frac{\\Delta t}{T}$$\n5. Mesurer U_m et I_m = U_{Rm}/R\n6. $$Z = \\frac{U_m}{I_m}$$\n\n### 7.2 Méthode des multimètres\n1. Mesurer U efficace avec voltmètre AC\n2. Mesurer I efficace avec ampèremètre AC\n3. $$Z = \\frac{U}{I}$$\n4. Pour φ, mesurer U_R = R·I, puis $$\\cos\\varphi = \\frac{U_R}{U}$$\n\n## 8. Applications en Côte d'Ivoire\n\n1. Compensation d'énergie réactive : Dans les usines (cimenterie, sucrerie) avec moteurs inductifs, on ajoute des condensateurs pour réduire φ et améliorer le facteur de puissance.\n\n2. Filtrage électrique : Dans les alimentations des équipements électroniques des centres de données.\n\n3. Circuits d'accord : Pour la sélection des stations dans les postes radio.\n\n4. Protection des réseaux : Étude des harmoniques dans le réseau électrique national.\n\n5. Dispositifs médicaux : Équipements d'imagerie utilisant des fréquences spécifiques.