Auto-induction

Le cours

1. Introduction\n\nL'auto-induction est un phénomène électromagnétique fondamental où une variation du courant dans un circuit induit une force électromotrice (f.é.m.) dans ce même circuit. Ce phénomène est particulièrement important dans les circuits contenant des bobines, comme les moteurs électriques, les transformateurs et les systèmes de distribution d'énergie.\n\nDescription du schéma 1: Schéma d'un circuit élémentaire avec bobine. Représenter une source de tension continue (batterie de 6V), un interrupteur, une résistance de protection (33 Ω), et une bobine avec noyau de fer. Ajouter deux lampes identiques (4,5V) en parallèle, l'une directement branchée, l'autre avec la bobine en série. Montrer par des flèches le sens conventionnel du courant. Légender tous les éléments.\n\n## 2. Flux propre et inductance\n\nPour une bobine parcourue par un courant d'intensité i, le flux propre \phi_p est le flux magnétique créé par la bobine à travers ses propres spires. Ce flux est proportionnel à l'intensité i :\n$$\\phi_p = L \\cdot i$$\noù L est l'inductance de la bobine, exprimée en henry (H).\n\nL'inductance dépend des caractéristiques géométriques de la bobine. Pour un solénoïde de longueur l, de section S, avec N spires :\n$$L = \\mu_0 \\cdot \\mu_r \\cdot \\frac{N^2}{l} \\cdot S$$\noù \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ H·m}^{-1} et \mu_r est la perméabilité relative du noyau.\n\n## 3. Phénomène d'auto-induction\n\nLorsque le courant i varie dans le temps, le flux propre \phi_p varie également. Selon la loi de Faraday, cette variation induit une force électromotrice e dans la bobine elle-même :\n$$e = -\\frac{d\\phi_p}{dt} = -L \\cdot \\frac{di}{dt}$$\n\nLe signe négatif exprime la loi de Lenz : la f.é.m. induite s'oppose à la variation du courant qui l'a créée.\n\nDescription du schéma 2: Graphiques montrant l'établissement et l'annulation du courant dans un circuit RL. Premier graphique : i(t) lors de la fermeture du circuit (croissance exponentielle vers I_max). Deuxième graphique : i(t) lors de l'ouverture du circuit (décroissance exponentielle vers 0). Ajouter les tangentes à l'origine pour illustrer di/dt. Axes : temps (s) en abscisse, intensité (A) en ordonnée.\n\n## 4. Mise en évidence expérimentale\n\nDeux expériences classiques mettent en évidence l'auto-induction :\n\n1. Retard à l'allumage : Dans un circuit avec deux lampes en parallèle, l'une avec bobine, l'autre sans. À la fermeture du circuit, la lampe sans bobine s'allume instantanément, tandis que celle avec bobine présente un retard dû à la f.é.m. auto-induite qui s'oppose à l'établissement du courant.\n\n2. Étincelles de rupture : À l'ouverture du circuit, la diminution brutale de i produit une forte f.é.m. auto-induite (di/dt négatif et grand) qui peut créer une étincelle aux bornes de l'interrupteur.\n\n## 5. Tension aux bornes d'une bobine\n\nPour une bobine réelle de résistance r et d'inductance L, la tension à ses bornes est :\n$$u_{AB} = r \\cdot i + L \\cdot \\frac{di}{dt}$$\n\nDans le cas idéal d'une bobine parfaite (r = 0) :\n$$u_{AB} = L \\cdot \\frac{di}{dt}$$\n\nDescription du schéma 3: Oscillogramme montrant la tension aux bornes d'une bobine (voie A) et l'intensité (voie B) lors de l'établissement du courant. Montrer le décalage temporel. Voie A : tension u(t) avec une impulsion positive à la fermeture. Voie B : i(t) croissant exponentiellement. Base de temps : 2 ms/div. Calibres : 2 V/div pour u(t), 0,5 A/div pour i(t).\n\n## 6. Énergie magnétique emmagasinée\n\nL'énergie magnétique E_m emmagasinée dans une bobine d'inductance L parcourue par un courant i est :\n$$E_m = \\frac{1}{2} \\cdot L \\cdot i^2$$\n\nCette énergie est libérée lorsque le circuit est ouvert. Dans les installations industrielles comme la centrale thermique d'Azito près d'Abidjan, des dispositifs de protection (varistances, diodes) sont installés pour absorber cette énergie et éviter les surtensions dangereuses.\n\n## 7. Applications en Côte d'Ivoire\n\n1. Systèmes d'allumage automobile : Les bobines d'allumage des véhicules utilisent l'auto-induction pour générer les hautes tensions nécessaires aux bougies.\n\n2. Protection des équipements électriques : Les disjoncteurs et parafoudres incorporent des bobines pour limiter les surintensités.\n\n3. Éclairage fluorescent : Le retard à l'allumage des tubes néons est dû à l'auto-induction dans le ballast.\n\n## 8. Exercices d'application\n\nUne bobine d'inductance L = 0,5 H et de résistance r = 10 Ω est branchée à une source de tension E = 12 V. Calculer :\n1. La constante de temps \tau = L/r du circuit\n2. L'énergie maximale emmagasinée\n3. La f.é.m. auto-induite à t = 0 si le courant croît à raison de 5 A/s