Loi de Laplace

Le cours

1. Introduction à la loi de Laplace

La loi de Laplace (ou force de Laplace) décrit la force exercée par un champ magnétique sur un conducteur parcouru par un courant électrique. C'est le principe de base des moteurs électriques, des haut-parleurs, des instruments de mesure électriques, et de nombreux actionneurs électromécaniques. En Côte d'Ivoire, cette loi est essentielle pour comprendre et développer les technologies liées à l'électrification rurale, aux systèmes d'irrigation motorisés, et à l'industrie manufacturière qui utilise des machines-outils électriques.

2. Expression de la force de Laplace

2.1. Pour un élément de conducteur

Sur un élément de conducteur de longueur \( d\\overrightarrow{\\ell} \), parcouru par un courant I et placé dans un champ magnétique \( \\overrightarrow{B} \), s'exerce la force élémentaire :

\( d\\overrightarrow{F} = I \\, d\\overrightarrow{\\ell} \\times \\overrightarrow{B} \)

2.2. Pour un conducteur rectiligne

Si le conducteur est rectiligne et plongé dans un champ magnétique uniforme, la force totale sur une longueur \( \\overrightarrow{\\ell} \) est :

\( \\overrightarrow{F} = I \\, \\overrightarrow{\\ell} \\times \\overrightarrow{B} \)

Où \( \\overrightarrow{\\ell} \) est un vecteur ayant la direction du conducteur, le sens du courant, et une norme égale à la longueur du conducteur dans le champ.

3. Caractéristiques de la force de Laplace

3.1. Direction

Perpendiculaire au plan formé par \( \\overrightarrow{\\ell} \) et \( \\overrightarrow{B} \).

3.2. Sens

Donné par la règle des trois doigts de la main droite : - Pouce : sens du courant I (sens de \( \\overrightarrow{\\ell} \)) - Index : sens de \( \\overrightarrow{B} \) - Majeur (perpendiculaire) : sens de \( \\overrightarrow{F} \)

3.3. Norme

\( F = I \\ell B \\sin\\theta \) Où θ est l'angle entre \( \\overrightarrow{\\ell} \) et \( \\overrightarrow{B} \).

Cas particuliers : - Si \( \\overrightarrow{\\ell} \\parallel \\overrightarrow{B} \) (θ = 0° ou 180°) : F = 0 - Si \( \\overrightarrow{\\ell} \\perp \\overrightarrow{B} \) (θ = 90°) : F = I ℓ B (maximum)

3.4. Point d'application

La force s'applique au milieu du conducteur (si champ uniforme).

Description du schéma 1: Force de Laplace sur un conducteur rectiligne Représenter un conducteur rectiligne horizontal parcouru par un courant I (flèche). Un champ magnétique \( \\overrightarrow{B} \) uniforme vertical sort de la page (points dans des cercles). La force \( \\overrightarrow{F} \) est perpendiculaire au plan formé par le conducteur et B. Avec la règle de la main droite : I vers la droite (pouce), B vers le haut (index), alors F sort vers l'observateur (majeur). Montrer les trois vecteurs mutuellement perpendiculaires. Légender : "\( \\overrightarrow{F} = I\\overrightarrow{\\ell} \\times \\overrightarrow{B} \)", "Règle des trois doigts de la main droite", "\( F = I\\ell B \) (car \( \\overrightarrow{\\ell} \\perp \\overrightarrow{B} \))".

4. Relation avec la force de Lorentz

La force de Laplace est la résultante des forces de Lorentz sur les charges en mouvement dans le conducteur.

Pour un électron de charge -e se déplaçant à la vitesse de dérive \( \\overrightarrow{v}_d \) : \( \\overrightarrow{f} = -e \\overrightarrow{v}_d \\times \\overrightarrow{B} \)

Dans un conducteur de section S, avec n porteurs par unité de volume : nombre de porteurs dans un élément de longueur dℓ : nS dℓ Force totale : \( d\\overrightarrow{F} = nS d\\ell (-e) \\overrightarrow{v}_d \\times \\overrightarrow{B} \)

Or \( I = n e S v_d \) (intensité du courant) Donc \( d\\overrightarrow{F} = I \\, d\\overrightarrow{\\ell} \\times \\overrightarrow{B} \)

5. Mise en évidence expérimentale

5.1. Expérience des rails de Laplace

Un conducteur mobile peut rouler sur deux rails parallèles dans un champ magnétique. Quand on fait passer un courant, le conducteur se déplace.

5.2. Expérience de la tige de Laplace

Une tige conductrice suspendue peut osciller dans un champ magnétique quand elle est parcourue par un courant.

6. Applications de la loi de Laplace

6.1. Balance de Cotton

Instrument permettant de mesurer l'intensité d'un champ magnétique uniforme.

Principe : Un cadre rectangulaire partiellement plongé dans le champ subit une force de Laplace verticale. On équilibre cette force avec des masses marquées.

Calcul : Pour un cadre de N spires, de longueur ℓ dans le champ, parcouru par I : \( F = N I \\ell B \) À l'équilibre : \( N I \\ell B = m g \) D'où \( B = \\frac{mg}{N I \\ell} \)

6.2. Roue de Barlow

Premier moteur électrique (1822). Une roue métallique partiellement plongée dans un liquide conducteur (mercure) tourne sous l'action de la force de Laplace.

6.3. Moteur à courant continu

Principe de base : une spire parcourue par un courant dans un champ magnétique tourne sous l'action de couples de forces de Laplace.

Description du schéma 2: Principe du moteur à courant continu Représenter une spire rectangulaire ABCD placée dans un champ magnétique radial (entre les pôles d'un aimant en U). La spire est parcourue par un courant I. Montrer les forces de Laplace sur chaque côté : - Sur AB : force \( \\overrightarrow{F}_1 \) vers le haut (si courant entrant) - Sur CD : force \( \\overrightarrow{F}_2 \) vers le bas (si courant sortant) - Sur BC et AD : forces radiales, pas de couple Le couple fait tourner la spire. Ajouter un collecteur (anneau coupé) et des balais pour inverser le courant à chaque demi-tour. Légender : "Champ magnétique radial", "Forces de Laplace sur AB et CD", "Couple \( \\Gamma = F \\times d \)", "Collecteur et balais pour inversion du courant".

7. Haut-parleur électrodynamique

7.1. Principe

Un haut-parleur convertit un signal électrique en onde sonore grâce à la force de Laplace.

7.2. Constitution

1. Aimant permanent (génère un champ radial)
2. Bobine mobile solidaire de la membrane
3. Membrane (cône)
4. Suspension

7.3. Fonctionnement

Le signal audio (courant variable) traverse la bobine placée dans le champ radial de l'aimant. La force de Laplace fait vibrer la bobine et la membrane, créant des ondes sonores.

Force : \( F = N I \\ell B \) (N spires, longueur totale ℓ)

7.4. Application en Côte d'Ivoire

Haut-parleurs pour les systèmes de sonorisation, les radios communautaires, l'équipement des écoles et des lieux de culte.

8. Calculs pratiques

8.1. Force sur un conducteur rectiligne

Exemple : Un câble de ligne haute tension de 100 m dans le champ magnétique terrestre (B ≈ 50 μT) parcouru par I = 100 A. \( F = I \\ell B \\sin\\theta \) Si le câble est perpendiculaire au champ : F = 100 × 100 × 50×10⁻⁶ = 0,5 N (faible)

8.2. Force dans un moteur

Exemple : Un moteur a 100 spires de 10 cm de longueur active dans B = 0,5 T, I = 2 A. Force sur un côté : F = N I ℓ B = 100 × 2 × 0,10 × 0,5 = 10 N

9. Cas d'un cadre rectangulaire

9.1. Forces sur les côtés

Pour un cadre rectangulaire de côtés a et b, parcouru par I, dans un champ \( \\overrightarrow{B} \) uniforme : - Sur les côtés de longueur a : forces égales et opposées (si champ uniforme), s'annulent - Sur les côtés de longueur b : forces égales et opposées, forment un couple

9.2. Couple sur le cadre

\( \\Gamma = N I S B \\sin\\theta \) (pour un cadre de N spires, surface S, incliné d'un angle θ par rapport à B)

À θ = 90° : couple maximal À θ = 0° : couple nul (position d'équilibre stable) À θ = 180° : couple nul (position d'équilibre instable)

Description du schéma 3: Balance de Cotton Représenter le dispositif de la balance de Cotton : 1. Aimant en U créant un champ magnétique uniforme horizontal entre ses pôles 2. Cadre rectangulaire suspendu à un fléau de balance 3. Partie inférieure du cadre (longueur ℓ) plongée dans le champ 4. Plateau de l'autre côté du fléau pour les masses marquées 5. Source de courant alimentant le cadre Quand un courant I passe dans le cadre, une force de Laplace verticale F s'exerce sur la partie horizontale inférieure. À l'équilibre : F = mg. Légender : "\( F = N I \\ell B \)", "À l'équilibre : \( N I \\ell B = m g \)", "D'où \( B = \\frac{mg}{N I \\ell} \)".

10. Applications en contexte ivoirien

10.1. Moteurs de pompes d'irrigation

Les pompes électriques pour l'irrigation des cultures (riz, maraîchage) utilisent des moteurs à courant continu ou alternatif basés sur la force de Laplace.

10.2. Générateurs électriques

Le principe réciproque (mouvement d'un conducteur dans un champ magnétique induit un courant) est utilisé dans les alternateurs des centrales hydroélectriques.

10.3. Instruments de mesure

Galvanomètres, ampèremètres, voltmètres à cadre mobile utilisent la loi de Laplace pour convertir un courant en déplacement angulaire.

10.4. Actionneurs linéaires

Pour l'automatisation dans les industries (agroalimentaire, textile).

11. Exercice guidé : conception d'un petit moteur

Un atelier scolaire de Bingerville veut construire un petit moteur à courant continu. Le cadre du rotor a les caractéristiques suivantes : - N = 50 spires - Dimensions : a = 3,0 cm, b = 4,0 cm (côtés du rectangle) - Champ magnétique radial : B = 0,20 T - Courant maximal : I = 1,5 A

1. Calculer la surface S d'une spire.
2. Calculer le couple maximal \( \\Gamma_{\\text{max}} \) sur le rotor.
3. Le moteur doit fournir une puissance mécanique de 0,5 W à une vitesse de rotation de 3000 tr/min. Ce couple est-il suffisant ?
4. Calculer la force de Laplace sur un côté de longueur b.
5. Si on double le nombre de spires, que devient le couple maximal ?

Solution : 1. Surface d'une spire : \( S = a \\times b = 0,030 \\times 0,040 = 1,2\\times10^{-3} \\ \\text{m}^2 \)

2. Couple maximal : \( \\Gamma_{\\text{max}} = N I S B \\sin90^\\circ = 50 \\times 1,5 \\times 1,2\\times10^{-3} \\times 0,20 \) \( \\Gamma_{\\text{max}} = 50 \\times 1,5 \\times 2,4\\times10^{-4} = 1,8\\times10^{-2} \\ \\text{N·m} = 18 \\ \\text{mN·m} \)

3. Vérification pour P = 0,5 W à 3000 tr/min : Vitesse angulaire : \( \\omega = \\frac{3000 \\times 2\\pi}{60} = 100\\pi \\ \\text{rad/s} \\approx 314 \\ \\text{rad/s} \) Couple nécessaire : \( \\Gamma = \\frac{P}{\\omega} = \\frac{0,5}{314} \\approx 1,59\\times10^{-3} \\ \\text{N·m} = 1,59 \\ \\text{mN·m} \) Le couple maximal disponible (18 mN·m) est largement suffisant (plus de 10 fois).

4. Force sur un côté de longueur b : Sur chaque côté de longueur b, il y a N/2 conducteurs en série (si le bobinage est réparti sur les deux côtés). Supposons que tous les conducteurs soient sur un seul côté pour simplifier : \( F = N I b B = 50 \\times 1,5 \\times 0,040 \\times 0,20 = 0,6 \\ \\text{N} \)

5. Si on double N : \( \\Gamma_{\\text{max}}' = 2 \\times \\Gamma_{\\text{max}} = 36 \\ \\text{mN·m} \) Le couple est proportionnel au nombre de spires.