Induction électromagnétique

Le cours

1. Introduction à l'induction électromagnétique

L'induction électromagnétique est le phénomène physique par lequel une variation de flux magnétique à travers un circuit fermé y engendre une force électromotrice (f.é.m.) induite et donc un courant induit. Découverte indépendamment par Faraday (1831) et Henry (1832), c'est l'un des piliers de l'électrotechnique moderne. En Côte d'Ivoire, ce principe est à la base de la production d'électricité (centrales hydroélectriques, thermiques), du transport et de la distribution (transformateurs), et de nombreux appareils électroménagers et industriels.

2. Flux magnétique

2.1. Définition

Le flux magnétique Φ à travers une surface S est une mesure du nombre de lignes de champ magnétique qui traversent cette surface.

2.2. Expression mathématique

Pour une surface plane d'aire S, placée dans un champ magnétique uniforme \( \\overrightarrow{B} \) :

\( \\Phi = \\overrightarrow{B} \\cdot \\overrightarrow{S} = B S \\cos\\theta \)

Où : - \( \\overrightarrow{S} \) est un vecteur perpendiculaire à la surface, de norme égale à l'aire S - θ est l'angle entre \( \\overrightarrow{B} \) et la normale à la surface

2.3. Cas particuliers

• Si \( \\overrightarrow{B} \perp \) surface (θ = 0°) : Φ = B S (maximum)
• Si \( \\overrightarrow{B} \parallel \) surface (θ = 90°) : Φ = 0
• Si \( \\overrightarrow{B} \) opposé à la normale (θ = 180°) : Φ = -B S

2.4. Unité

Le weber (Wb) : \( 1 \\ \\text{Wb} = 1 \\ \\text{T·m}^2 \)

Description du schéma 1: Flux magnétique à travers une surface Représenter une surface plane (par exemple un rectangle) avec sa normale \( \\overrightarrow{n} \). Tracer un champ magnétique uniforme \( \\overrightarrow{B} \) faisant un angle θ avec \( \\overrightarrow{n} \). Montrer la projection de B sur la normale : \( B_\perp = B \\cos\\theta \). Le flux est \( \\Phi = B_\perp S = B S \\cos\\theta \). Illustrer trois cas : θ = 0° (flux max), θ = 90° (flux nul), θ = 180° (flux négatif). Légender : "\( \\overrightarrow{S} = S\\overrightarrow{n} \)", "\( \\Phi = \\overrightarrow{B} \\cdot \\overrightarrow{S} = B S \\cos\\theta \)", "\( 1 \\ \\text{Wb} = 1 \\ \\text{T·m}^2 \)".

3. Phénomène d'induction électromagnétique

3.1. Expérience fondamentale de Faraday

En déplaçant un aimant près d'une bobine connectée à un galvanomètre, on observe un courant dans la bobine pendant le mouvement. Le courant cesse quand l'aimant s'arrête.

3.2. Causes de l'induction

Une f.é.m. induite apparaît dans un circuit chaque fois que le flux magnétique à travers ce circuit varie. La variation peut être due à : 1. Variation de B (champ magnétique variable) 2. Variation de S (surface variable) 3. Variation de θ (orientation variable) 4. Déplacement du circuit dans un champ non uniforme

3.3. Courant induit

Si le circuit est fermé, la f.é.m. induit un courant induit. Si le circuit est ouvert, seule une tension apparaît aux bornes.

4. Lois de l'induction électromagnétique

4.1. Loi de Faraday (1831)

La force électromotrice induite e dans un circuit est égale à l'opposé de la variation temporelle du flux magnétique à travers le circuit :

\( e = -\\frac{d\\Phi}{dt} \)

Pour une bobine de N spires : \( e = -N \\frac{d\\Phi}{dt} \)

4.2. Loi de Lenz (1834)

Le courant induit a un sens tel qu'il s'oppose, par ses effets, à la cause qui lui donne naissance.

Cette loi est contenue dans le signe négatif de la loi de Faraday (d'où le nom "loi de Faraday-Lenz").

4.3. Applications des lois

• Détermination du sens du courant induit
• Calcul de la f.é.m. induite
• Compréhension des effets de l'induction

5. Détermination du sens du courant induit

5.1. Méthode avec la loi de Lenz

1. Identifier la cause : augmentation ou diminution du flux, et son sens
2. Le courant induit créera un champ magnétique qui s'oppose à cette variation
3. Utiliser la règle du tire-bouchon pour trouver le sens du courant correspondant

5.2. Méthode avec la loi de Faraday-Lenz

Pour une spire unique : \( e = -\\frac{d\\Phi}{dt} \) Si e > 0, le courant induit a le sens positif choisi. Si e < 0, le courant induit a le sens opposé.

Description du schéma 2: Expérience de Faraday et loi de Lenz Représenter deux situations : 1. Un aimant dont le pôle Nord s'approche d'une spire. Le flux Φ augmente. Le courant induit crée un champ opposé, donc un pôle Nord face à l'aimant (répulsion). Sens du courant donné par la règle du tire-bouchon. 2. Un aimant dont le pôle Nord s'éloigne. Le flux Φ diminue. Le courant induit crée un champ qui s'oppose à la diminution, donc un pôle Sud face à l'aimant (attraction). Légender : "Approche : flux ↑, courant crée champ répulsif", "Éloignement : flux ↓, courant crée champ attractif", "Loi de Lenz : le courant induit s'oppose à la variation de flux".

6. Force électromotrice induite

6.1. Expression générale

Pour une bobine de N spires : \( e = -N \\frac{d\\Phi}{dt} \)

6.2. Cas particuliers

• Si Φ varie linéairement : \( \\Phi(t) = at + b \), alors \( e = -N a \) (constant)
• Si Φ varie sinusoïdalement : \( \\Phi(t) = \\Phi_0 \\cos(\\omega t) \), alors \( e = N \\omega \\Phi_0 \\sin(\\omega t) \)

6.3. Induction dans un conducteur en mouvement (f.é.m. de Lorentz)

Pour un conducteur de longueur ℓ se déplaçant à vitesse \( \\overrightarrow{v} \) dans un champ \( \\overrightarrow{B} \) : \( e = (\\overrightarrow{v} \\times \\overrightarrow{B}) \\cdot \\overrightarrow{\\ell} \)

C'est le principe des génératrices.

7. Applications de l'induction

7.1. Transformateurs

Dispositif qui transfère de l'énergie électrique d'un circuit primaire à un circuit secondaire par induction mutuelle, en changeant la tension.

Relation idéale : \( \\frac{U_s}{U_p} = \\frac{N_s}{N_p} \)

Avec pertes : \( U_s I_s \\approx U_p I_p \) (conservation de la puissance)

7.2. Courants de Foucault

Courants induits dans des masses métalliques soumises à des champs magnétiques variables. Effets : - Bons : freins magnétiques, chauffage par induction, fours à induction - Mauvais : pertes d'énergie dans les machines, échauffement

Réduction : feuilletage des circuits magnétiques.

7.3. Microphone électrodynamique

La membrane, solidaire d'une bobine, vibre dans le champ d'un aimant. Le mouvement induit un courant proportionnel au son.

7.4. Dynamo de vélo

Un aimant tourne devant une bobine fixe, induisant un courant alternatif redressé en continu.

8. Production d'électricité par les alternateurs

8.1. Principe

Une bobine tourne dans un champ magnétique (ou un champ tourne autour d'une bobine fixe). Le flux varie sinusoïdalement, induisant une tension alternative.

8.2. Constitution d'un alternateur

1. Stator : bobines fixes
2. Rotor : électroaimant ou aimant permanent tournant
3. Collecteur (pour continu) ou bagues (pour alternatif)

8.3. Tension induite

Pour une bobine de N spires, surface S, tournant à vitesse angulaire ω dans un champ B : \( \\Phi(t) = N B S \\cos(\\omega t) \) \( e(t) = N B S \\omega \\sin(\\omega t) \)

Valeur efficace : \( E = \\frac{N B S \\omega}{\\sqrt{2}} \)

Description du schéma 3: Principe de l'alternateur Représenter une spire rectangulaire tournant à vitesse angulaire ω dans un champ magnétique uniforme B entre les pôles d'un aimant. Montrer que le flux à travers la spire est \( \\Phi = B S \\cos\\theta \) avec \( \\theta = \\omega t \). La f.é.m. induite est \( e = -d\\Phi/dt = B S \\omega \\sin(\\omega t) \). Tracer le graphe Φ(t) (cosinusoïde) et e(t) (sinusoïde décalée de π/2). Ajouter des bagues collectrices et balais pour recueillir le courant alternatif. Légender : "\( \\Phi(t) = B S \\cos(\\omega t) \)", "\( e(t) = B S \\omega \\sin(\\omega t) \)", "Tension alternative sinusoïdale".

9. Applications en contexte ivoirien

9.1. Centrales hydroélectriques

Les alternateurs de Soubré (275 MW), Buyo (165 MW), etc., convertissent l'énergie mécanique de l'eau en électricité.

9.2. Transformateurs de distribution

Adaptent la tension de 225 kV (transport) à 220 V (utilisation domestique).

9.3. Compteurs électriques

Utilisent l'induction pour mesurer la consommation.

9.4. Cuisinières à induction

Chauffent directement les casseroles par courants de Foucault, plus efficaces que les plaques électriques.

9.5. Recharge sans fil

Transfert d'énergie par induction mutuelle entre une base et un téléphone.

10. Exercice guidé : alternateur pour petite centrale

Une communauté rurale de la région de Man veut installer une micro-centrale hydroélectrique. L'alternateur a les caractéristiques suivantes : - N = 100 spires - Surface d'une spire : S = 0,02 m² - Champ magnétique : B = 0,5 T - Fréquence de rotation : f = 50 Hz

1. Calculer la vitesse angulaire ω.
2. Donner l'expression du flux à travers une spire.
3. Donner l'expression de la f.é.m. induite dans une spire.
4. Calculer la f.é.m. maximale pour l'ensemble des spires.
5. Calculer la f.é.m. efficace.
6. Pour obtenir 220 V efficaces, proposer une modification.

Solution : 1. Vitesse angulaire : \( \\omega = 2\\pi f = 2\\pi \\times 50 = 100\\pi \\ \\text{rad/s} \\approx 314 \\ \\text{rad/s} \)

2. Flux à travers une spire : \( \\Phi_1(t) = B S \\cos(\\omega t) = 0,5 \\times 0,02 \\cos(100\\pi t) = 0,01 \\cos(100\\pi t) \\ \\text{Wb} \)

3. f.é.m. dans une spire : \( e_1(t) = -\\frac{d\\Phi_1}{dt} = B S \\omega \\sin(\\omega t) = 0,01 \\times 100\\pi \\sin(100\\pi t) = \\pi \\sin(100\\pi t) \\ \\text{V} \)

4. f.é.m. maximale totale : \( E_{\\text{max}} = N B S \\omega = 100 \\times 0,5 \\times 0,02 \\times 100\\pi = 100 \\times \\pi = 100\\pi \\ \\text{V} \\approx 314 \\ \\text{V} \)

5. f.é.m. efficace : \( E_{\\text{eff}} = \\frac{E_{\\text{max}}}{\\sqrt{2}} = \\frac{100\\pi}{\\sqrt{2}} \\approx \\frac{314}{1,414} \\approx 222 \\ \\text{V} \)

6. Pour obtenir exactement 220 V efficaces : On peut ajuster plusieurs paramètres : - Augmenter légèrement la vitesse : \( \\omega' = \\omega \\times \\frac{220}{222} \\approx 0,991 \\omega \) - Augmenter légèrement le champ : \( B' = B \\times \\frac{220}{222} \\approx 0,495 \\ \\text{T} \) - Augmenter légèrement le nombre de spires : \( N' = N \\times \\frac{220}{222} \\approx 99 \\ \\text{spires} \) - Augmenter légèrement la surface : \( S' = S \\times \\frac{220}{222} \\approx 0,0198 \\ \\text{m}^2 \)

La solution la plus simple est d'ajuster la vitesse de rotation via la turbine.