Étude de fonctions élémentaires

Le cours

Étude des fonctions élémentaires : modèles mathématiques fondamentaux

1. Fonctions linéaires

Définition : Une fonction linéaire est de la forme f(x) = ax, où a est le coefficient directeur.

Caractéristiques en Côte d'Ivoire : - Modélise les situations de proportionnalité directe - Exemple : Prix d'achat de riz au marché d'Adjamé : f(x) = 500x (500 FCFA le kg)

Propriétés : - Ensemble de définition : Df = ℝ - Représentation graphique : droite passant par l'origine - Variation : croissante si a > 0, décroissante si a < 0, constante si a = 0 - Sens de variation : strictement monotone sur ℝ

Exemple ivoirien : Pour l'achat de carburant à une station-service d'Abidjan : f(x) = 700x où x est le nombre de litres et 700 FCFA le prix du litre.

2. Fonctions affines

Définition : Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.

Caractéristiques : - Ensemble de définition : Df = ℝ - Représentation graphique : droite ne passant pas nécessairement par l'origine - Variation : croissante si a > 0, décroissante si a < 0

Application concrète : Facture d'eau SODECI : f(x) = 1500 + 300x, où 1500 FCFA est l'abonnement mensuel et 300 FCFA le prix par m³ consommé.

3. Fonctions affines par intervalles

Définition : Fonction définie par différentes expressions affines sur différents intervalles.

Exemple ivoirien : Tarifs postaux à Abidjan : - Pour x ≤ 20g : f(x) = 250 FCFA - Pour 20g < x ≤ 100g : f(x) = 400 FCFA - Pour x > 100g : f(x) = 400 + 10(x-100) FCFA

Représentation graphique : Plusieurs segments de droite

4. Fonction carré : f(x) = x²

Caractéristiques : - Ensemble de définition : Df = ℝ - Parité : fonction paire (f(-x) = f(x)) - Variations : * Décroissante sur ]-∞, 0] * Croissante sur [0, +∞[ - Minimum : 0 atteint en x = 0 - Courbe représentative : parabole de sommet O(0,0)

Application ivoirienne : Calcul de l'aire d'un carré de côté x (A = x²). Utile pour les terrains à bâtir ou les surfaces agricoles.

5. Fonction inverse : f(x) = 1/x

Caractéristiques : - Ensemble de définition : Df = ℝ* = ℝ \ {0} - Variations : * Décroissante sur ]-∞, 0[ * Décroissante sur ]0, +∞[ - Pas de minimum ni maximum - Courbe représentative : hyperbole - Asymptotes : axes du repère

Application ivoirienne : Vitesse moyenne v = d/t (inverse du temps). Exemple : Temps de trajet Abidjan-Yamoussoukro en fonction de la vitesse.

6. Étude complète d'une fonction élémentaire

Pour f(x) = 2x - 3 (fonction affine) : 1. Ensemble de définition : Df = ℝ 2. Sens de variation : a = 2 > 0 donc f est croissante sur ℝ 3. Signe : f(x) = 0 ⇔ x = 1,5 4. Représentation graphique : droite de coefficient directeur 2, ordonnée à l'origine -3

Pour f(x) = x² (fonction carré) : 1. Df = ℝ 2. Tableau de variations : -∞ 0 +∞ f(x) décroît 0 croît 3. Minimum : 0 en x = 0 4. Parabole tournée vers le haut

7. Représentation graphique

Méthode : 1. Déterminer l'ensemble de définition 2. Calculer quelques points caractéristiques 3. Placer ces points dans un repère orthonormé 4. Tracer la courbe en respectant les variations

Échelle et unités : Adapter au contexte ivoirien (prix en milliers de FCFA, distances en km, etc.)

8. Résolution graphique

Équation f(x) = k : Abscisses des points d'intersection entre la courbe et la droite horizontale y = k

Inéquation f(x) ≥ k : Abscisses des points où la courbe est au-dessus de y = k

Exemple : Résoudre x² ≥ 4 graphiquement : x ∈ ]-∞, -2] ∪ [2, +∞[

9. Modélisation de situations ivoiriennes

Exemple 1 : Production agricole Une coopérative de cacao à Divo a une production P(n) = 50n - 0,1n² (en kg), où n est le nombre de plants.

Exemple 2 : Coûts de transport Une société de transport Abidjan-San Pédro a un coût C(d) = 10000 + 200d, où d est la distance en km.

Exemple 3 : Démographie Population d'un quartier d'Abobo : P(t) = 5000 + 200t - 10t², où t est le temps en années.

10. Comparaison des fonctions

Linéaire vs affine : L'ordonnée à l'origine fait la différence Carré vs inverse : Comportements très différents au voisinage de 0

11. Utilisation de la calculatrice

• Création de tables de valeurs
• Tracé de courbes
• Recherche d'intersections
• Calcul d'images et d'antécédents

12. Applications interdisciplinaires

• Physique : Lois du mouvement, résistance des matériaux
• Économie : Coûts, recettes, bénéfices
• Géographie : Croissance urbaine, densité de population
• SVT : Croissance des populations animales ou végétales

13. Erreurs fréquentes

• Confondre fonction linéaire et affine
• Oublier que 1/x n'est pas définie en 0
• Mauvais tracé de la parabole (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées)
• Ne pas respecter les variations dans le tableau
• Échelle inadaptée sur les graphiques

Les fonctions élémentaires constituent la base de la modélisation mathématique et sont essentielles pour analyser et comprendre les phénomènes économiques, sociaux et scientifiques en Côte d'Ivoire.