Calcul littéral

Le cours

Calcul littéral : outil de modélisation mathématique

1. Expressions littérales et variables

Le calcul littéral permet de généraliser des situations concrètes ivoiriennes. Par exemple, si x représente le nombre de kilos de bananes plantain achetés au marché, et que le prix au kilo est de 500 FCFA, alors le prix total est 500x FCFA.

Une expression littérale est une combinaison de lettres (variables) et de nombres reliés par des opérations. En Côte d'Ivoire, cela peut modéliser : - Le coût d'une facture d'électricité (CIE) : coût fixe + coût variable - La production agricole en fonction de la superficie - Le budget familial en fonction du nombre de personnes

2. Développement d'expressions littérales

Développer signifie transformer un produit en somme. C'est essentiel pour simplifier les calculs.

Distributivité simple : k(a + b) = ka + kb k(a - b) = ka - kb

Distributivité double : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

3. Les produits remarquables

Ces formules permettent de développer rapidement certaines expressions fréquentes :

1. Carré d'une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b² Application : Calcul de l'aire d'un carré dont on augmente le côté

2. Carré d'une différence : (a - b)² = a² - 2ab + b² Application : Calcul de l'aire restante après réduction d'un terrain

3. Produit de la somme par la différence : (a - b)(a + b) = a² - b² Application : Calcul de différences de surfaces

Exemple ivoirien : Un agriculteur de Bouaké a un champ carré de côté x mètres. Il l'agrandit de 10 mètres dans chaque direction. La nouvelle aire est (x + 10)² = x² + 20x + 100 m².

4. Factorisation

Factoriser signifie transformer une somme en produit. C'est l'opération inverse du développement.

Méthodes de factorisation : 1. Facteur commun : ka + kb = k(a + b) Exemple : Dans une coopérative agricole, si chaque membre contribue 5000x FCFA pour les semences et 5000y FCFA pour l'engrais, la contribution totale est 5000(x + y) FCFA.

2. Utilisation des produits remarquables : - a² + 2ab + b² = (a + b)² - a² - 2ab + b² = (a - b)² - a² - b² = (a - b)(a + b)

5. Réduction et ordonnancement

Pour simplifier une expression : 1. Développer si nécessaire 2. Regrouper les termes semblables 3. Ordonner selon les puissances décroissantes

Exemple : (2x + 3)(x - 4) + 5x² = 2x² - 8x + 3x - 12 + 5x² = 7x² - 5x - 12

6. Calcul de valeur numérique

Remplacer chaque variable par sa valeur numérique, puis calculer.

Application ivoirienne : Le coût de transport de marchandises entre Abidjan et Korhogo peut s'exprimer par C = 5000d + 10000p, où d est la distance en km et p le poids en tonnes. Pour d = 600 km et p = 5 tonnes : C = 5000×600 + 10000×5 = 3 000 000 + 50 000 = 3 050 000 FCFA.

7. Résolution de problèmes concrets

Problème 1 : Un restaurant de Bouaké propose des plats à prix fixe. Le chiffre d'affaires quotidien est C = 1500n - 10n², où n est le nombre de clients. Pour n = 50 : C = 1500×50 - 10×2500 = 75 000 - 25 000 = 50 000 FCFA.

Problème 2 : Un terrain rectangulaire à Yamoussoukro a une longueur de (x + 20) m et une largeur de (x - 10) m. Son aire est A = (x + 20)(x - 10) = x² + 10x - 200 m².

8. Applications dans d'autres disciplines

• Économie : modélisation des coûts de production
• Physique : formules de mouvement, d'énergie
• Géographie : calculs de densité de population
• SVT : modèles de croissance de populations

9. Pièges à éviter

• Confondre (a + b)² avec a² + b²
• Oublier le double produit dans (a ± b)²
• Erreur de signe dans (a - b)(a + b) = a² - b² (pas a² + b²)
• Mauvaise application de la distributivité

Le calcul littéral est un outil puissant qui permet de résoudre des problèmes variés en les modélisant mathématiquement, facilitant ainsi la prise de décision dans les domaines économique, social et scientifique en Côte d'Ivoire.