LE CONDENSATEUR

Le cours

1. Introduction aux condensateurs

Un condensateur est un composant électronique capable de stocker des charges électriques et de l'énergie électrostatique. C'est l'un des composants les plus courants en électronique, présent dans presque tous les appareils électriques, des téléphones portables aux installations industrielles.

Applications en Côte d'Ivoire : - Filtrage dans les alimentations électriques - Stockage d'énergie dans les flashs d'appareils photo - Démarrage des moteurs de climatiseurs - Correction du facteur de puissance dans l'industrie

2. Définition et symboles

2.1 Définition physique

Un condensateur est constitué de deux armatures conductrices séparées par un isolant (diélectrique). Lorsqu'on applique une tension entre les armatures, des charges de signes opposés s'accumulent sur chacune d'elles.

2.2 Symboles normalisés

Condensateur non polarisé :

---|||---

Utilisé en courant alternatif, pas de polarité.

Condensateur électrolytique polarisé :

---|(---  (le + est indiqué)

Pour courant continu, respecter la polarité.

Condensateur variable :

---||/---

Capacité ajustable (tuning des radios).

2.3 Paramètres caractéristiques

• Capacité C : aptitude à stocker des charges (en farads)
• Tension nominale : tension maximale d'utilisation
• Tension de claquage : tension qui détruit le diélectrique
• Champ disruptif : champ électrique maximal supportable

3. Charge et décharge d'un condensateur

3.1 Montage expérimental

Circuit RC série : générateur (tension constante E), résistance R, condensateur C, interrupteur.

3.2 Phase de charge

Quand on ferme l'interrupteur sur la position charge : - Le courant est maximal au début : $I_0 = E/R$ - Il décroît exponentiellement : $I(t) = \\frac{E}{R}e^{-t/\\tau}$ - La tension aux bornes du condensateur croît : $U_C(t) = E(1 - e^{-t/\\tau})$ - La charge augmente : $q(t) = CE(1 - e^{-t/\\tau})$

3.3 Phase de décharge

Quand on bascule sur la décharge : - Le courant change de sens - $U_C(t) = E e^{-t/\\tau}$ - $I(t) = -\\frac{E}{R}e^{-t/\\tau}$

3.4 Constante de temps $\\tau$

$$\\tau = RC$$ C'est le temps pour que la charge atteigne 63% de sa valeur finale (ou que la tension atteigne 63% de E).

Unités : $R$ en ohms (Ω), $C$ en farads (F), $\\tau$ en secondes (s)

Description du schéma 1 : Charge et décharge d'un condensateur Représenter les courbes sur un même graphique temps (t) : 1. Courant I(t) : exponentielle décroissante de $I_0 = E/R$ à 0 lors de la charge ; exponentielle négative lors de la décharge. 2. Tension U_C(t) : exponentielle croissante de 0 à E lors de la charge ; exponentielle décroissante de E à 0 lors de la décharge. 3. Charge q(t) : similaire à U_C(t) (q = CU). Indiquer $\\tau = RC$ sur l'axe des temps. Annoter : "À t = $\\tau$, U_C = 0,63E", "À t = 5$\\tau$, charge pratiquement complète".

4. Relation charge-tension

4.1 Loi fondamentale

Pour un condensateur idéal, la charge $q$ sur une armature est proportionnelle à la tension $U$ entre les armatures :

$$q = CU$$

Où $C$ est la capacité, constante pour un condensateur donné (hors saturation).

4.2 Caractéristique q = f(U)

C'est une droite passant par l'origine de pente $C$ :

$$C = \\frac{q}{U} = \\frac{\\Delta q}{\\Delta U}$$

4.3 Unité de capacité

Le farad (F) : $1\\ F = 1\\ C/V$

Sous-multiples courants : - millifarad : $1\\ mF = 10^{-3}\\ F$ - microfarad : $1\\ \\mu F = 10^{-6}\\ F$ - nanofarad : $1\\ nF = 10^{-9}\\ F$ - picofarad : $1\\ pF = 10^{-12}\\ F$

Exemples typiques : - Condensateur céramique : 1 pF - 1 μF - Électrolytique : 1 μF - 1 F - Supercondensateur : jusqu'à 5000 F

5. Association de condensateurs

5.1 Association en série

Pour $n$ condensateurs en série :

$$\\frac{1}{C_{eq}} = \\frac{1}{C_1} + \\frac{1}{C_2} + \\cdots + \\frac{1}{C_n}$$

Propriétés : - Même charge $q$ sur tous les condensateurs - Tension totale : $U = U_1 + U_2 + \\cdots + U_n$ - Capacité équivalente inférieure à la plus petite capacité

5.2 Association en parallèle

Pour $n$ condensateurs en parallèle :

$$C_{eq} = C_1 + C_2 + \\cdots + C_n$$

Propriétés : - Même tension $U$ aux bornes de tous les condensateurs - Charge totale : $q = q_1 + q_2 + \\cdots + q_n$ - Capacité équivalente égale à la somme des capacités

Description du schéma 2 : Associations de condensateurs Représenter : 1. Série : 3 condensateurs $C_1$, $C_2$, $C_3$ en série. Indiquer : $q_1 = q_2 = q_3 = q$, $U = U_1 + U_2 + U_3$, $\\frac{1}{C_{eq}} = \\frac{1}{C_1} + \\frac{1}{C_2} + \\frac{1}{C_3}$. 2. Parallèle : 3 condensateurs en parallèle. Indiquer : $U_1 = U_2 = U_3 = U$, $q = q_1 + q_2 + q_3$, $C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$. 3. Mixte : combinaison série-parallèle avec calcul de $C_{eq}$.

6. Énergie stockée dans un condensateur

6.1 Expression générale

L'énergie électrostatique stockée dans un condensateur chargé sous la tension $U$ est :

$$E = \\frac{1}{2}CU^2 = \\frac{1}{2}QU = \\frac{1}{2}\\frac{Q^2}{C}$$

6.2 Démonstration

Le travail pour charger le condensateur est :

$$W = \\int_0^Q u(q) dq = \\int_0^Q \\frac{q}{C} dq = \\frac{1}{2}\\frac{Q^2}{C}$$

Ce travail est stocké sous forme d'énergie électrostatique.

6.3 Densité d'énergie

Pour un condensateur plan de surface $S$ et d'épaisseur $d$ :

$$C = \\varepsilon_0 \\varepsilon_r \\frac{S}{d}$$

L'énergie par unité de volume est :

$$w = \\frac{E}{Sd} = \\frac{1}{2} \\varepsilon_0 \\varepsilon_r E^2$$

Où $E = U/d$ est le champ électrique dans le diélectrique.

7. Limites d'utilisation

7.1 Tension nominale

C'est la tension maximale que peut supporter le condensateur en fonctionnement continu. La dépasser réduit la durée de vie.

7.2 Tension de claquage

Tension à laquelle le diélectrique devient conducteur, détruisant le condensateur.

7.3 Champ disruptif

Champ électrique maximal supportable par le diélectrique :

$$E_{max} = \\frac{U_{claquage}}{d}$$

Exemples : - Air : 3 kV/mm - Papier imprégné : 15 kV/mm - Céramique : 10-100 kV/mm

8. Applications pratiques en Côte d'Ivoire

8.1 Filtrage des alimentations

Dans les alimentations à découpage des ordinateurs et téléviseurs, les condensateurs lissent la tension redressée.

8.2 Démarrage des moteurs

Les moteurs monophasés des climatiseurs et réfrigérateurs utilisent des condensateurs pour créer un champ tournant.

8.3 Correction du facteur de puissance

Dans l'industrie, des batteries de condensateurs compensent l'énergie réactive, réduisant les pertes et la facture d'électricité.

8.4 Éclairage fluorescent

Les ballasts électroniques des tubes fluorescents contiennent des condensateurs.

8.5 Énergies renouvelables

Les supercondensateurs stockent l'énergie dans les systèmes solaires pour lisser la production.

Description du schéma 3 : Condensateur de filtrage dans une alimentation Représenter un montage redresseur + filtre : 1. Transformateur abaisseur 2. Pont de diodes (redressement double alternance) 3. Condensateur de filtrage C en parallèle avec la charge R 4. Tensions : entrée sinusoïdale $V_{in}$, sortie redressée $V_{red}$ (sinusoïdes redressées), sortie filtrée $V_{out}$ (presque continue avec ondulation). Montrer que C se charge pendant les pics et se décharge dans R pendant les creux. Formule de l'ondulation résiduelle : $\\Delta V \\approx \\frac{I}{fC}$ où f est la fréquence. Annoter : "C = 1000 μF typique", "Ondulation < 1% si C assez grand".

9. Méthodologie de résolution

Pour calculer une capacité équivalente : 1. Identifier les associations série/parallèle 2. Appliquer les formules progressivement 3. Vérifier l'ordre de grandeur

Pour analyser charge/décharge : 1. Déterminer $\\tau = RC$ 2. Utiliser les formules exponentielles 3. Calculer valeurs à $t = \\tau$, $2\\tau$, $5\\tau$

Pour l'énergie stockée : 1. Choisir la formule adaptée selon données 2. $E = \\frac{1}{2}CU^2$ si on connaît U 3. $E = \\frac{1}{2}QU$ si on connaît Q et U 4. $E = \\frac{1}{2}\\frac{Q^2}{C}$ si on connaît Q et C

10. Cas d'étude : Flash d'appareil photo

Problème : Le flash d'un appareil photo numérique utilise un condensateur de 100 μF chargé à 300 V.

Données : - Capacité : $C = 100\\ \\mu F = 10^{-4}\\ F$ - Tension de charge : $U = 300\\ V$ - Résistance du flash : $R = 0,1\\ \\Omega$ (approximation) - Énergie lumineuse : rendement 5%

Questions : 1. Calculer l'énergie stockée dans le condensateur 2. Déterminer la charge accumulée 3. Calculer la constante de temps de décharge 4. Estimer la durée de l'éclair (temps pour que l'énergie soit réduite de 90%) 5. Calculer la puissance maximale délivrée 6. Comparer avec une pile AA (énergie : 10 kJ)

Résolution : 1. Énergie stockée : $$E = \\frac{1}{2}CU^2 = \\frac{1}{2} \\times 10^{-4} \\times (300)^2 = 0,5 \\times 10^{-4} \\times 9\\times 10^4 = 4,5\\ J$$

2. Charge accumulée : $$Q = CU = 10^{-4} \\times 300 = 3\\times 10^{-2}\\ C = 30\\ mC$$

3. Constante de temps : $$\\tau = RC = 0,1 \\times 10^{-4} = 10^{-5}\\ s = 10\\ \\mu s$$

4. Durée de l'éclair : L'énergie dans le condensateur : $E(t) = \\frac{1}{2}CU(t)^2 = \\frac{1}{2}C(U_0 e^{-t/\\tau})^2 = E_0 e^{-2t/\\tau}$ On veut $E(t) = 0,1E_0$ soit $e^{-2t/\\tau} = 0,1$ $$-2t/\\tau = \\ln(0,1) \\approx -2,3026$$ $$t = 1,1513 \\times \\tau \\approx 1,1513 \\times 10^{-5}\\ s \\approx 11,5\\ \\mu s$$

5. Puissance maximale : Au début de la décharge : $I_0 = U_0/R = 300/0,1 = 3000\\ A$ $$P_{max} = U_0 I_0 = 300 \\times 3000 = 900000\\ W = 900\\ kW$$

6. Comparaison pile AA : Énergie flash : 4,5 J Énergie pile : 10000 J Rapport : 10000/4,5 \approx 2222 Le flash utilise une énergie très concentrée dans le temps.

Application : En photographie, cette énergie concentrée permet d'obtenir un éclair bref qui "fige" le mouvement.