TRAVAIL ET PUISSANCE D’UNE FORCE DANS LE CAS D’UN MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE

Le cours

1. Introduction\n\nLes mouvements de rotation sont omniprésents dans la vie quotidienne et industrielle en Côte d'Ivoire : moteurs de véhicules, turbines des barrages (comme celui de Soubré), moulins à manioc, ventilateurs, etc. Comprendre les lois qui régissent ces mouvements permet d'optimiser les machines et les outils.\n\n## 2. Caractéristiques du mouvement de rotation\n\n### 2.1 Grandeurs angulaires\n- Abscisse angulaire θ : angle balayé (en rad)\n- Vitesse angulaire ω : $$\\omega = \\frac{d\\theta}{dt}$$ (en rad/s)\n- Accélération angulaire α : $$\\alpha = \\frac{d\\omega}{dt}$$ (en rad/s²)\n\n### 2.2 Grandeurs linéaires\nPour un point à distance R de l'axe :\n- Abscisse curviligne s : $$s = R \\times \\theta$$\n- Vitesse linéaire v : $$v = R \\times \\omega$$\n- Accélération tangentielle at : $$a_t = R \\times \\alpha$$\n\nDescription du schéma 1: Représenter un solide en rotation autour d'un axe Δ fixe. Montrer un point M à distance R de l'axe. Indiquer l'angle θ, l'abscisse curviligne s = Rθ, et le vecteur vitesse linéaire v tangent à la trajectoire. Ajouter les vecteurs ω (selon la règle de la main droite) et R.\n\n## 3. Moment d'une force par rapport à un axe\n\n### 3.1 Définition\nLe moment d'une force $$\\vec{F}$$ par rapport à un axe Δ est :\n$$M_{\\Delta}(\\vec{F}) = F \\times d \\times \\sin \\alpha$$\noù d est la distance entre l'axe et la droite d'action de la force, et α l'angle entre $$\\vec{F}$$ et le bras de levier.\n\n### 3.2 Cas particulier important\nPour une force perpendiculaire au bras de levier :\n$$M_{\\Delta}(\\vec{F}) = F \\times d$$\n\n### 3.3 Unité\nLe moment s'exprime en newton-mètre (N·m)\n\n## 4. Couple de forces\n\n### 4.1 Définition\nUn couple est un système de deux forces parallèles, de même intensité, de sens opposés, dont les droites d'action sont distinctes.\n\n### 4.2 Moment d'un couple\nLe moment d'un couple est indépendant du point de référence :\n$$M_{\\Delta}(\\text{couple}) = F \\times D$$\noù D est la distance entre les droites d'action des deux forces (bras de levier du couple).\n\nDescription du schéma 2: Représenter un couple de forces agissant sur un volant. Deux forces F1 et F2 égales en intensité, parallèles, de sens opposés, appliquées à distance D l'une de l'autre. Montrer que le moment total M = F × D. Ajouter l'axe de rotation au centre.\n\n## 5. Travail d'une force dans un mouvement de rotation\n\n### 5.1 Expression générale\nPour une force agissant sur un solide en rotation autour d'un axe fixe :\n$$W(\\vec{F}) = M_{\\Delta}(\\vec{F}) \\times \\theta$$\noù θ est l'angle de rotation en radians.\n\n### 5.2 Démonstration\nÀ partir du travail élémentaire : $$dW = \\vec{F} \\cdot d\\vec{OM}$$\nEn coordonnées polaires : $$dW = F_t \\times R \\times d\\theta = M_{\\Delta}(\\vec{F}) \\times d\\theta$$\nDonc : $$W = \\int M_{\\Delta}(\\vec{F}) \\, d\\theta$$\nPour M constant : $$W = M_{\\Delta}(\\vec{F}) \\times \\theta$$\n\n### 5.3 Application : clé de serrage\nPour dévisser un écrou nécessitant un couple de 50 N·m avec une clé de 0,25 m :\n$$F = \\frac{M}{d} = \\frac{50}{0,25} = 200 \\, \\text{N}$$\nAvec une barre d'allonge de 0,5 m : $$F = \\frac{50}{0,5} = 100 \\, \\text{N}$$ (moins d'effort !)\n\n## 6. Puissance d'une force dans un mouvement de rotation\n\n### 6.1 Expression\n$$P = \\frac{dW}{dt} = M_{\\Delta}(\\vec{F}) \\times \\frac{d\\theta}{dt} = M_{\\Delta}(\\vec{F}) \\times \\omega$$\n\n### 6.2 Unités\n- P en watts (W)\n- M en newton-mètre (N·m)\n- ω en radian par seconde (rad/s)\n\nDescription du schéma 3: Montrer une turbine hydraulique (comme celles du barrage de Buyo) soumise à un couple M dû à la force de l'eau. La turbine tourne à vitesse angulaire ω. La puissance développée est P = M × ω. Indiquer le flux d'eau, les pales de la turbine, et l'axe de rotation.\n\n## 7. Applications en contexte ivoirien\n\n### 7.1 Moteurs électriques\nUn moteur de pompe à eau utilisé dans les villages près de Korhogo développe un couple de 15 N·m à 1500 tr/min. Sa puissance est :\n$$\\omega = 1500 \\times \\frac{2\\pi}{60} = 157 \\, \\text{rad/s}$$\n$$P = M \\times \\omega = 15 \\times 157 = 2355 \\, \\text{W} \\approx 2,4 \\, \\text{kW}$$\n\n### 7.2 Moulins à manioc\nLes moulins traditionnels utilisent un système de rotation avec un bras de levier. Si une femme applique une force de 100 N à 1 m de l'axe, et fait 2 tours (θ = 4π rad), le travail effectué est :\n$$M = F \\times d = 100 \\times 1 = 100 \\, \\text{N·m}$$\n$$W = M \\times \\theta = 100 \\times 4\\pi = 1257 \\, \\text{J}$$\n\n### 7.3 Éoliennes\nDans les zones ventées comme à Man, les éoliennes convertissent l'énergie cinétique du vent en couple sur un axe.\n\n## 8. Comparaison translation/rotation\n\n### 8.1 Analogies\n| Translation | Rotation |\n|------------|----------|\n| Force F | Moment M |\n| Masse m | Moment d'inertie J |\n| Vitesse v | Vitesse angulaire ω |\n| Travail W = F·d | Travail W = M·θ |\n| Puissance P = F·v | Puissance P = M·ω |\n\n### 8.2 Conversion mouvement\nLes systèmes bielle-manivelle (moteurs) convertissent la rotation en translation et vice-versa.\n\n## 9. Méthodologie de résolution\n\n### 9.1 Étapes\n1. Identifier l'axe de rotation\n2. Calculer le moment de chaque force\n3. Déterminer le moment résultant\n4. Calculer le travail si rotation d'un angle donné\n5. Calculer la puissance si vitesse angulaire connue\n\n### 9.2 Attention\n- Toujours exprimer θ en radians\n- Vérifier le signe du moment (sens de rotation)\n- Distinguer vitesse angulaire (rad/s) et fréquence (tr/min)